Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Justifique as respostas.
y(t)=[cos (2 t)]^2 x(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para avaliar se o sistema y(t) = [cos (2 t)]^2 x(t) é linear, causal, invariante no tempo, com memória e BIBO estável. Para isso, vamos precisar entender cada uma dessas propriedades e como elas se aplicam ao sistema dado.

Passo 2

Linearidade: Um sistema é linear se ele satisfaz os princípios da aditividade e homogeneidade. Ou seja, se para duas entradas x1(t) e x2(t) , temos que a resposta a x1(t) + x2(t) é y1(t) + y2(t) , e se a entrada for multiplicada por uma constante a , a saída também é multiplicada por a .
Vamos verificar:
y(t) = [cos (2 t)]^2 x(t)
Se tivermos x1(t) + x2(t) , a saída seria:
y(t) = [cos (2 t)]^2 (x1(t) + x2(t)) = [cos (2 t)]^2 x1(t) + [cos (2 t)]^2 x2(t) = y1(t) + y2(t)
E se multiplicarmos x(t) por a :
y(t) = [cos (2 t)]^2 (a x(t)) = a [cos (2 t)]^2 x(t) = a y(t)
Então, o sistema é linear.

Passo 3

Causalidade: Um sistema é causal se a saída em qualquer instante t depende apenas dos valores da entrada no presente ou no passado, ou seja, não depende de futuros valores de x(t) .
No nosso sistema:
y(t) = [cos (2 t)]^2 x(t)
A saída y(t) depende apenas de x(t) no mesmo instante t . Não há dependência de valores futuros ou passados de x(t) .
Portanto, o sistema é causal.

Passo 4

Invariância no Tempo: Um sistema é invariante no tempo se, ao deslocar a entrada no tempo, a saída também é deslocada igualmente, sem mudança na forma.
Vamos ver:
Se deslocarmos a entrada para t - t0 :
y(t) = [cos (2 t)]^2 x(t)
A saída se torna:
y(t - t0) = [cos (2 (t - t0))]^2 x(t - t0)
Isso não é igual a [cos (2 t)]^2 x(t - t0) , pois o termo [cos (2 (t - t0))]^2 muda com o deslocamento.
Então, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 5

Memória: Um sistema tem memória se a saída em um instante t depende de valores da entrada em diferentes instantes de tempo.
No sistema:
y(t) = [cos (2 t)]^2 x(t)
A saída em t depende apenas de x(t) , o mesmo instante.
Portanto, o sistema não tem memória; é um sistema sem memória.

Passo 6

BIBO Estabilidade: Um sistema é BIBO (Bounded Input, Bounded Output) estável se toda entrada limitada gera uma saída limitada.
Vamos analisar:
Sabemos que [cos (2 t)]^2 varia entre 0 e 1, já que o cosseno ao quadrado nunca ultrapassa 1.
Se |x(t)| <= M , então:
|y(t)| = |[cos (2 t)]^2 x(t)| <= 1 cdot M = M
Então, a saída também é limitada por M .
Logo, o sistema é BIBO estável.

Resposta

Resumindo:
  • Linear: Sim
  • Causal: Sim
  • Invariante no Tempo: Não
  • Memória: Não (sistema sem memória)
  • BIBO Estável: Sim

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