Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Justifique as respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para avaliar se o sistema
é linear, causal, invariante no tempo, com memória e BIBO estável. Para isso, vamos precisar entender cada uma dessas propriedades e como elas se aplicam ao sistema dado.
Passo 2
Linearidade: Um sistema é linear se ele satisfaz os princípios da aditividade e homogeneidade. Ou seja, se para duas entradas
e
, temos que a resposta a
é
, e se a entrada for multiplicada por uma constante
, a saída também é multiplicada por
.
Vamos verificar:
Se tivermos
, a saída seria:
E se multiplicarmos
por
:
Então, o sistema é linear.
Passo 3
Causalidade: Um sistema é causal se a saída em qualquer instante
depende apenas dos valores da entrada no presente ou no passado, ou seja, não depende de futuros valores de
.
No nosso sistema:
A saída
depende apenas de
no mesmo instante
. Não há dependência de valores futuros ou passados de
.
Portanto, o sistema é causal.
Passo 4
Invariância no Tempo: Um sistema é invariante no tempo se, ao deslocar a entrada no tempo, a saída também é deslocada igualmente, sem mudança na forma.
Vamos ver:
Se deslocarmos a entrada para :
Se deslocarmos a entrada para
A saída se torna:
Isso não é igual a
, pois o termo
muda com o deslocamento.
Então, o sistema não é invariante no tempo.
Passo 5
Memória: Um sistema tem memória se a saída em um instante
depende de valores da entrada em diferentes instantes de tempo.
No sistema:
A saída em
depende apenas de
, o mesmo instante.
Portanto, o sistema não tem memória; é um sistema sem memória.
Passo 6
BIBO Estabilidade: Um sistema é BIBO (Bounded Input, Bounded Output) estável se toda entrada limitada gera uma saída limitada.
Vamos analisar:
Sabemos que varia entre 0 e 1, já que o cosseno ao quadrado nunca ultrapassa 1.
Sabemos que
Se
, então:
Então, a saída também é limitada por
.
Logo, o sistema é BIBO estável.
Resposta
Resumindo:
- Linear: Sim
- Causal: Sim
- Invariante no Tempo: Não
- Memória: Não (sistema sem memória)
- BIBO Estável: Sim