Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Justifique as respostas.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o sistema que é definido por
. Neste exercício, vamos verificar se esse sistema é linear, causal, invariante no tempo, possui memória e se é BIBO estável. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre cada uma dessas propriedades e aplicar no sistema dado.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o sistema é linear. Um sistema é linear se ele satisfaz os princípios da aditividade e da homogeneidade. Isso significa que, para quaisquer sinais de entrada
e
, e para quaisquer constantes
e
, o sistema deve obedecer:
No nosso caso, o sistema é:
Como a derivada e a multiplicação por uma constante são operações lineares, o sistema também é linear.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o sistema é causal. Um sistema é causal se a saída
em qualquer tempo
depende apenas dos valores da entrada
para
.
Observando a equação:
A saída
depende apenas do valor de
e da sua derivada em
, ou seja, não depende de valores futuros de
. Portanto, o sistema é causal.
Passo 4
Vamos ver se o sistema é invariante no tempo. Isso significa que se a entrada for atrasada no tempo, a saída também será atrasada pelo mesmo valor, sem alterações.
Se considerarmos uma entrada atrasada
, a saída será:
Isso resulta em uma saída que é apenas o sistema original aplicado à entrada atrasada. Portanto, o comportamento do sistema não muda com o tempo, mostrando que ele é invariante no tempo.
Passo 5
Agora, vamos verificar se o sistema tem memória. Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante depende apenas da entrada nesse mesmo instante.
No nosso sistema:
A saída
depende apenas de
e da sua derivada em
. Não há dependência de valores passados ou futuros de
. Portanto, o sistema não tem memória.
Passo 6
Por fim, vamos verificar se o sistema é BIBO estável (Bounded Input, Bounded Output). Isso significa que se a entrada
for limitada, a saída
também será limitada.
Considerando que
para todo
e que a derivada de uma função limitada também é limitada, a saída
será limitada se a entrada
for limitada. Portanto, o sistema é BIBO estável.
Resposta
O sistema
é linear, causal, invariante no tempo, sem memória e BIBO estável.