Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Justifique as respostas.
y(t)=dd t(e^-t x(t))

Passo 1

Beleza, vamos analisar o sistema que é definido por y(t) = ddt(e^-t x(t)) . Neste exercício, vamos verificar se esse sistema é linear, causal, invariante no tempo, possui memória e se é BIBO estável. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre cada uma dessas propriedades e aplicar no sistema dado.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o sistema é linear. Um sistema é linear se ele satisfaz os princípios da aditividade e da homogeneidade. Isso significa que, para quaisquer sinais de entrada x1(t) e x2(t) , e para quaisquer constantes a e b , o sistema deve obedecer:
y(t) = a cdot Sistema(x1(t)) + b cdot Sistema(x2(t))
No nosso caso, o sistema é:
y(t) = ddt(e^-t x(t))
Como a derivada e a multiplicação por uma constante são operações lineares, o sistema também é linear.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o sistema é causal. Um sistema é causal se a saída y(t) em qualquer tempo t depende apenas dos valores da entrada x(tau) para tau <= t .
Observando a equação:
y(t) = ddt(e^-t x(t))
A saída y(t) depende apenas do valor de x(t) e da sua derivada em t , ou seja, não depende de valores futuros de x . Portanto, o sistema é causal.

Passo 4

Vamos ver se o sistema é invariante no tempo. Isso significa que se a entrada for atrasada no tempo, a saída também será atrasada pelo mesmo valor, sem alterações.
Se considerarmos uma entrada atrasada x(t - t0) , a saída será:
y(t) = ddt(e^-t x(t - t0))
Isso resulta em uma saída que é apenas o sistema original aplicado à entrada atrasada. Portanto, o comportamento do sistema não muda com o tempo, mostrando que ele é invariante no tempo.

Passo 5

Agora, vamos verificar se o sistema tem memória. Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante depende apenas da entrada nesse mesmo instante.
No nosso sistema:
y(t) = ddt(e^-t x(t))
A saída y(t) depende apenas de x(t) e da sua derivada em t . Não há dependência de valores passados ou futuros de x(t) . Portanto, o sistema não tem memória.

Passo 6

Por fim, vamos verificar se o sistema é BIBO estável (Bounded Input, Bounded Output). Isso significa que se a entrada x(t) for limitada, a saída y(t) também será limitada.
Considerando que |e^-t| <= 1 para todo t >= 0 e que a derivada de uma função limitada também é limitada, a saída y(t) será limitada se a entrada x(t) for limitada. Portanto, o sistema é BIBO estável.

Resposta

O sistema y(t) = ddt(e^-t x(t)) é linear, causal, invariante no tempo, sem memória e BIBO estável.

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