Calcule integralegral duplaR y dA, onde R é a regiāo no primeiro quadrante entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular a integral dupla de y sobre a região R que está no primeiro quadrante, entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são bem úteis quando trabalhamos com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região R . Ela está no primeiro quadrante, o que significa que x e y são positivos. Além disso, R está entre dois círculos: um de raio 1 (porque raiz1 = 1 ) e outro de raio 2 (pois raiz4 = 2 ). Então, estamos lidando com uma espécie de anel no primeiro quadrante.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nessas coordenadas, as variáveis são r (a distância do ponto até a origem) e theta (o ângulo em relação ao eixo x ). As relações são:
x = r costheta, y = r sintheta
E o elemento de área muda para:
dA = r, dr, dtheta
Isso vai facilitar a nossa integração, já que os limites são circulares.

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. Para r , ele vai de 1 a 2, porque estamos entre os círculos de raio 1 e 2. Para theta , como estamos no primeiro quadrante, o ângulo varia de 0 a pi2 radianos.

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaR y, dA = integral0^pi2 integral1^2 (r sintheta) cdot r , dr, dtheta
Aqui, substituímos y por r sintheta e dA por r, dr, dtheta .

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
integral0^pi2 integral1^2 r^2 sintheta , dr, dtheta
Agora, temos r^2 sintheta dentro da integral dupla.

Passo 7

Primeiro, vamos integrar em relação a r :
integral1^2 r^2 , dr = [ r^33 ]1^2 = 83 - 13 = 73
Integrando r^2 de 1 a 2, obtemos 73 .

Passo 8

Agora, substituímos esse resultado na integral:
73 integral0^pi2 sintheta , dtheta
Ficou mais simples, restando apenas a integral em relação a theta .

Passo 9

Vamos integrar sintheta de 0 a pi2 :
integral sintheta , dtheta = -costheta
Aplicando os limites:
[ -costheta ]0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = 0 + 1 = 1
Portanto, a integral vale 1.

Passo 10

Multiplicando os resultados:
73 times 1 = 73
Então, a integral dupla vale 73 .

Resposta

O valor da integral dupla integral duplaR y, dA é 73 .

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