Calcule
, onde
é a regiāo no primeiro quadrante entre os círculos
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular a integral dupla de
sobre a região
que está no primeiro quadrante, entre os círculos
e
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são bem úteis quando trabalhamos com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela está no primeiro quadrante, o que significa que
e
são positivos. Além disso,
está entre dois círculos: um de raio 1 (porque
) e outro de raio 2 (pois
). Então, estamos lidando com uma espécie de anel no primeiro quadrante.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nessas coordenadas, as variáveis são
(a distância do ponto até a origem) e
(o ângulo em relação ao eixo
). As relações são:
E o elemento de área muda para:
Isso vai facilitar a nossa integração, já que os limites são circulares.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. Para
, ele vai de 1 a 2, porque estamos entre os círculos de raio 1 e 2. Para
, como estamos no primeiro quadrante, o ângulo varia de 0 a
radianos.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Agora, temos
dentro da integral dupla.
Passo 7
Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Integrando
de 1 a 2, obtemos
.
Passo 8
Agora, substituímos esse resultado na integral:
Ficou mais simples, restando apenas a integral em relação a
.
Passo 9
Vamos integrar
de 0 a
:
Aplicando os limites:
Portanto, a integral vale 1.
Passo 10
Multiplicando os resultados:
Então, a integral dupla vale
.
Resposta
O valor da integral dupla
é
.