Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Justifique as respostas.
y[n]=log 10(|x[n]|)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar o sistema y[n] = log10(|x[n]|) em relação a cinco propriedades: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e estabilidade BIBO. A gente vai precisar entender cada uma dessas propriedades e ver se o sistema se encaixa ou não em cada categoria.

Passo 2

Primeiro, vamos checar a linearidade. Um sistema é linear se ele respeita a adição e a homogeneidade. Ou seja, se para quaisquer entradas x1[n] e x2[n] , e constantes a e b , a saída do sistema para a x1[n] + b x2[n] deve ser igual a a y1[n] + b y2[n] .

Passo 3

Vamos aplicar isso no nosso sistema: y[n] = log10(|x[n]|) . Se a gente fizer y[n] = log10(|a x1[n] + b x2[n]|) , isso não é igual a a log10(|x1[n]|) + b log10(|x2[n]|) no geral. Portanto, o sistema não é linear.

Passo 4

Agora, sobre a causalidade. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante n depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, ou seja, y[n] depende de x[n], x[n-1], x[n-2], dots e não de futuros valores de x .

Passo 5

No nosso sistema y[n] = log10(|x[n]|) , a saída em n depende somente do valor de x em n . Não precisamos de valores futuros. Então, o sistema é causal.

Passo 6

Vamos para a invariância no tempo. Um sistema é invariante no tempo se, quando a entrada é deslocada no tempo, a saída também é deslocada da mesma forma.

Passo 7

Se deslocarmos a entrada para x[n - n0] , a saída será y[n] = log10(|x[n - n0]|) . Isso é o mesmo que deslocar a saída original y[n] = log10(|x[n]|) por n0 . Logo, o sistema é invariante no tempo.

Passo 8

Sobre a memória, um sistema tem memória se a saída em um instante n depende de entradas em instantes diferentes de n .

Passo 9

No nosso caso, y[n] depende apenas de x[n] . Não há dependência de valores passados ou futuros. Portanto, o sistema é sem memória.

Passo 10

Por fim, a estabilidade BIBO (Bounded Input, Bounded Output). Um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada resulta em uma saída também limitada.

Passo 11

Mesmo que a entrada x[n] seja limitada, a função logaritmo pode levar a saídas que não são limitadas, especialmente porque log10(0) é indefinido e log10(x) tende a -infty quando x tende a 0. Assim, o sistema não é BIBO estável.

Resposta

O sistema y[n] = log10(|x[n]|) não é linear, é causal, é invariante no tempo, é sem memória e não é BIBO estável.

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