Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Justifique as respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar o sistema
em relação a cinco propriedades: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e estabilidade BIBO. A gente vai precisar entender cada uma dessas propriedades e ver se o sistema se encaixa ou não em cada categoria.
Passo 2
Primeiro, vamos checar a linearidade. Um sistema é linear se ele respeita a adição e a homogeneidade. Ou seja, se para quaisquer entradas
e
, e constantes
e
, a saída do sistema para
deve ser igual a
.
Passo 3
Vamos aplicar isso no nosso sistema:
. Se a gente fizer
, isso não é igual a
no geral. Portanto, o sistema não é linear.
Passo 4
Agora, sobre a causalidade. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante
depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, ou seja,
depende de
e não de futuros valores de
.
Passo 5
No nosso sistema
, a saída em
depende somente do valor de
em
. Não precisamos de valores futuros. Então, o sistema é causal.
Passo 6
Vamos para a invariância no tempo. Um sistema é invariante no tempo se, quando a entrada é deslocada no tempo, a saída também é deslocada da mesma forma.
Passo 7
Se deslocarmos a entrada para
, a saída será
. Isso é o mesmo que deslocar a saída original
por
. Logo, o sistema é invariante no tempo.
Passo 8
Sobre a memória, um sistema tem memória se a saída em um instante
depende de entradas em instantes diferentes de
.
Passo 9
No nosso caso,
depende apenas de
. Não há dependência de valores passados ou futuros. Portanto, o sistema é sem memória.
Passo 10
Por fim, a estabilidade BIBO (Bounded Input, Bounded Output). Um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada resulta em uma saída também limitada.
Passo 11
Mesmo que a entrada
seja limitada, a função logaritmo pode levar a saídas que não são limitadas, especialmente porque
é indefinido e
tende a
quando
tende a 0. Assim, o sistema não é BIBO estável.
Resposta
O sistema
não é linear, é causal, é invariante no tempo, é sem memória e não é BIBO estável.