Determine os valores de potencia

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores da potência Pinfty e da energia Einfty do sinal x[n] definido da seguinte forma:
x[n] = cos (pi n) & para -10 <= n <= 10 0 & caso contrário á
Estamos lidando com sinais em tempo discreto aqui, e vamos precisar entender os conceitos de energia e potência de um sinal. Vamos por partes para achar cada um desses valores!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre energia de um sinal. A energia E de um sinal em tempo discreto é dada pela soma dos quadrados dos valores do sinal ao longo de todo o tempo. Matematicamente, é:
E = sumn=-infty^infty |x[n]|^2
No nosso caso, como x[n] é diferente de zero apenas entre n = -10 e n = 10 , a soma vai simplificar bastante. Vamos calcular isso!

Passo 3

Vamos calcular a energia Einfty do sinal:
Einfty = sumn=-10^10 |cos(pi n)|^2
Sabemos que cos(pi n) alterna entre 1 e -1 para valores inteiros de n . Então, |cos(pi n)|^2 = 1 para todo n no intervalo. Portanto:
Einfty = sumn=-10^10 1 = 21
(Contamos de -10 até 10, o que dá 21 termos.)

Passo 4

Agora, vamos ver a potência do sinal. A potência P de um sinal em tempo discreto é definida como o limite da média da soma dos quadrados dos valores do sinal quando o intervalo de tempo tende ao infinito:
Pinfty = limN to infty 12N+1 sumn=-N^N |x[n]|^2
Mas, como x[n] é zero fora de n = -10 a n = 10 , para valores de N > 10 , a soma sumn=-N^N |x[n]|^2 sempre será 21. Assim:
Pinfty = limN to infty 212N+1

Passo 5

Vamos resolver o limite para encontrar Pinfty :
Pinfty = limN to infty 212N+1 = 0
Porque, conforme N cresce, o denominador fica cada vez maior, fazendo toda a fração tender a zero.

Resposta

A potência do sinal é zero ( Pinfty = 0 ) e a energia do sinal é 21 ( Einfty = 21 ).

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