Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Justifique as respostas.
y[n]= x[n] & n >= 1 0 & n=0 x[n+1] & n <=-1

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você me enviou. Temos um sistema definido pela seguinte equação:
y[n] = x[n] & n >= 1 0 & n = 0 x[n+1] & n <= -1
O objetivo é avaliar esse sistema em relação às propriedades de linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e estabilidade BIBO. Para isso, vamos precisar entender cada uma dessas propriedades e verificar se o sistema as satisfaz.

Passo 2

Linearidade
Primeiro, vamos falar sobre linearidade. Um sistema é linear se ele satisfaz os princípios de aditividade e homogeneidade. Isso significa que, se você tiver duas entradas [x_1[n]) e , e constantes e , o sistema deve obedecer:
Vamos verificar isso para o nosso sistema. Seja e . Então,
Isso é igual a (a \cdot y_1[n] + b \cdot y_2[n]], então o sistema é linear.

Passo 3

Causalidade
A causalidade diz respeito ao fato de que o sistema não depende de futuros valores da entrada. Em outras palavras, para calcular y[n] , o sistema só pode usar valores de x[k] onde k <= n .
Vamos ver nosso sistema:
  • Para n >= 1 : y[n] = x[n] — usa o presente.
  • Para n = 0 : y[0] = 0 — não depende de nenhum x[n] .
  • Para n <= -1 : y[n] = x[n+1] — aqui, estamos usando x[n+1] , que é um valor futuro em relação a n <= -1 (porque n+1 > n ).
Como o sistema depende de x[n+1] para n <= -1 , ele não é causal.

Passo 4

Invariância no Tempo
Um sistema é invariante no tempo se seu comportamento não muda ao longo do tempo. Formalmente, se uma entrada [x[n]) gera uma saída , então uma entrada deslocada deve gerar uma saída deslocada .
Vamos testar isso. Suponha que .
Para uma entrada deslocada , a saída seria:
Comparando com (y[n - n_0]]:
Observamos que para todos os casos, então o sistema é invariante no tempo.

Passo 5

Memória
Um sistema tem memória se a saída em um dado instante depende de entradas passadas ou futuras. Se a saída depende apenas da entrada no mesmo instante, o sistema é sem memória.
No nosso sistema:
  • Para n >= 1 : y[n] = x[n] — depende apenas de x[n] .
  • Para n = 0 : y[0] = 0 — não depende de nenhuma entrada.
  • Para n <= -1 : y[n] = x[n+1] — depende de x[n+1] , que é uma entrada futura.
Como para n <= -1 a saída depende de x[n+1] , o sistema possui memória.

Passo 6

Estabilidade BIBO
A estabilidade BIBO (Bounded Input, Bounded Output) significa que entradas limitadas resultam em saídas limitadas. Formalmente, se existe um M tal que |x[n]| <= M para todo n , então existe um N tal que |y[n]| <= N para todo n .
Vamos analisar nosso sistema:
  • Para n >= 1 : y[n] = x[n] — se |x[n]| <= M , então |y[n]| <= M .
  • Para n = 0 : y[0] = 0 — está limitado.
  • Para n <= -1 : y[n] = x[n+1] — se |x[n+1]| <= M , então |y[n]| <= M .
Portanto, se a entrada é limitada, a saída também será limitada. Assim, o sistema é BIBO estável.

Resposta

O sistema é linear, invariante no tempo, possui memória, não é causal e é BIBO estável.

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