Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Justifique as respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente avaliar algumas propriedades de um sistema definido por:
y(t)= x(t) & se x(t)>0 0 & se x(t) <= 0
Estamos falando de conceitos de sistemas lineares, causalidade, invariância no tempo, memória e estabilidade BIBO. Para resolver isso, vamos olhar cada propriedade uma por uma e ver se o sistema atende ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é linearidade. Um sistema é linear se ele respeita os princípios de aditividade e homogeneidade. Isso significa que se você somar duas entradas, a saída deve ser a soma das saídas correspondentes, e se você multiplicar a entrada por uma constante, a saída também deve ser multiplicada por essa constante.
Vamos testar isso no nosso sistema. Imagine duas entradas x1(t) e x2(t).
Se x1(t) > 0 e x2(t) > 0, y1(t) = x1(t) e y2(t) = x2(t). A soma seria y(t) = x1(t) + x2(t), o que parece ok.
Mas, se uma das entradas for negativa ou zero, a saída correspondente seria 0, e a soma não necessariamente seguiria a mesma regra. Por exemplo, se x1(t) > 0 e x2(t) <= 0, então y(t) = x1(t) + 0 = x1(t), mas para a entrada combinada x1(t) + x2(t), a saída dependeria se essa soma é maior que zero ou não.
Isso quebra a linearidade porque a resposta do sistema não é uma combinação linear das entradas.
Passo 3
Causalidade significa que a saída do sistema em um determinado instante depende apenas dos valores da entrada naquele instante ou em instantes passados, mas não do futuro.
Olha só, no nosso sistema:
y(t)= x(t) & se x(t)>0 0 & se x(t) <= 0
A saída y(t) depende apenas de x(t) no mesmo instante t. Não precisamos saber o que vai acontecer antes ou depois. Portanto, o sistema é causal.
Passo 4
Invariância no tempo significa que se deslocarmos a entrada no tempo, a saída será deslocada da mesma forma, sem mudar a forma da resposta.
Vamos pensar: se a entrada [x(t - t_0)) gera a saída , então o sistema é invariante no tempo.
No nosso caso:
Se deslocarmos a entrada, o sistema ainda aplicará a mesma regra no novo instante de tempo. A condição (x(t - t_0) > 0] será verificada no mesmo instante deslocado, e a saída seguirá. Assim, o sistema é invariante no tempo.
Passo 5
Um sistema tem memória se a saída em um instante depende de valores da entrada em outros instantes, além do presente.
No nosso sistema, y(t) depende apenas de x(t) no mesmo instante. Não precisamos olhar para x(t + tau) ou x(t - tau) com tau neq 0. Então, o sistema não tem memória, ou seja, é um sistema sem memória.
Passo 6
Stabilidade BIBO (Bounded Input, Bounded Output) significa que se a entrada for limitada, então a saída também será limitada.
Vamos ver: se |x(t)| <= M para algum M, então:
Se x(t) > 0, y(t) = x(t), que também está limitado por M.
Se x(t) <= 0, y(t) = 0, que claramente está dentro dos limites.
Portanto, qualquer entrada limitada resulta em uma saída limitada, então o sistema é BIBO estável.
Resposta
O sistema apresentado não é linear, pois não respeita a aditividade e homogeneidade. Ele é causal, já que a saída depende apenas do instante atual da entrada. O sistema é invariante no tempo, mantendo sua resposta independente de deslocamentos temporais na entrada. Não possui memória, pois a saída depende apenas do valor presente da entrada. Além disso, é BIBO estável, garantindo que entradas limitadas resultam em saídas limitadas.