Utilize coordenadas polares, isto é, x=r cos theta, y=r sin theta, para estudar os seguintes limites (Note que r 0^+quando (x, y) (0,0) ):
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^4+y^2

Passo 1

O enunciado pede o estudo do limite
lim(x,y)to(0,0)x^2yx^4+y^2
usando coordenadas polares, em que x=rcostheta, y=rsintheta e rto0^+ equivale a (x,y)to(0,0).

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^2y = (rcostheta)^2(rsintheta)=r^3cos^2thetasintheta,
x^4+y^2=r^4cos^4theta+r^2sin^2theta =r^2l(r^2cos^4theta+sin^2thetar)
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x^2yx^4+y^2 =r^3cos^2thetasinthetar^2l(r^2cos^4theta+sin^2thetar) =r,cos^2thetasinthetar^2cos^4theta+sin^2theta

Passo 3

Se theta ficar fixo com sinthetaneq0, ao fazermos rto0 o numerador ,rcos^2thetasinthetato0 e o denominador tosin^2thetaneq0, dando zero. Mas isso não assegura o limite geral, pois theta pode variar com r.

Passo 4

Escolhemos o caminho y=kx^2 (ou seja, y/x=kx, leva thetato0 quando xto0). Na forma cartesiana:
x^2(kx^2)x^4+(kx^2)^2 =kx^4x^4(1+k^2) =k1+k^2,
que é constante diferente de zero e depende de k. Cada valor de k dá um resultado distinto.

Resposta

O limite não existe.

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