Calcule a integral
, onde
é o paralelogramo limitado pelas retas
e
utilizando a mudança de variável
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o paralelogramo limitado pelas retas
e
,
usando a mudança de variáveis
usando a mudança de variáveis
O conteúdo principal aqui é a mudança de variável em integrais duplas e o cálculo do jacobiano.
Passo 2
Observamos que se definirmos
então a transformação inversa dada satisfaz exatamente
Isso implica que sobre
temos
Passo 3
Na nova variável
, a função integranda fica
Calculamos agora o jacobiano
Passo 4
A integral original passa a ser
Passo 5
Primeiro integramos em
u :
Agora integramos em
v :
Resposta
O valor da integral é
5 .