Calcule a integral integralegral duplaR x-2 y3 x-y d A, onde R é o paralelogramo limitado pelas retas x-2 y=0, x-2 y=5,3 x-y=1 e 3 x-y=e^2 utilizando a mudança de variável x=2 v-u5 e y=v-3 u5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR x-2y3x-y,dA
onde R é o paralelogramo limitado pelas retas
;x-2y=0,;x-2y=5,;3x-y=1 e ;3x-y=e^2,
usando a mudança de variáveis
x=2v-u5, y=v-3u5
O conteúdo principal aqui é a mudança de variável em integrais duplas e o cálculo do jacobiano.

Passo 2

Observamos que se definirmos
u = x-2y, v = 3x-y,
então a transformação inversa dada satisfaz exatamente
x=2v-u5, y=v-3u5
Isso implica que sobre R temos
uin[0,5], vin[1,e^2]

Passo 3

Na nova variável (u,v), a função integranda fica
x-2y3x-y = uv
Calculamos agora o jacobiano
J = det partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v =det -tfrac15 & tfrac25[3pt] -tfrac35 & tfrac15 =15 ]

Passo 4

A integral original passa a ser
integral duplaR x-2y3x-y,dA =integralv=1^e^2integralu=0^5uv,l|!Jr|,du,dv =integralv=1^e^2integralu=0^5uvcdot15,du,dv

Passo 5

Primeiro integramos em u:
integral0^5uvcdot15,du =15vintegral0^5u,du =15vcdot5^22 =2510v =52v
Agora integramos em v:
integral1^e^252v,dv =52l[ln vr]1^e^2 =52l(2-0r) =5

Resposta

O valor da integral é 5.

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