Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Justifique as respostas
y(t)=x(t / 2)

Passo 1

O sistema é dado por
y(t)=xl(t/2r)
Queremos avaliar as propriedades de linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Para isso vamos usar as definições clássicas: superposição para linearidade, teste de deslocamento para invariância no tempo, análise do instante de amostragem para causalidade e memória, e verificação de entrada limitada versus saída limitada para BIBO estabilidade.

Passo 2

Para testar a linearidade aplicamos superposição. Se definirmos yi(t)=Txi(t)=xi(t/2), então para quaisquer escalares a,b
Ta,x1(t)+b,x2(t) =x1l((t)/2r)a + x2l((t)/2r)b = a,y1(t)+b,y2(t)
Isso mostra que o sistema satisfaz homogeneidade e aditividade, logo é linear.

Passo 3

Para verificar invariância no tempo consideramos um deslocamento t0. Primeiro aplicamos o operador a x(t-t0):
Tx(t-t0) = xl((t-t0)/2r)
Por outro lado, deslocando a saída de x(t) temos
y(t-t0) = xl((t-t0)/2r)
Como ambas coincidem para todo t0, o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

O sistema é causal se para cada t a saída y(t) depender apenas de x(tau) com tau<= t. Aqui
y(t)=xl(t/2r),
então quando t<0 temos t/2>t, ou seja, a saída em t exige valores de x em instantes futuros. Logo o sistema é não causal.

Passo 5

O sistema é sem memória (memoryless) se y(t) depender somente de x(t). Como aqui y(t) depende de x(t/2) com t/2neq t para quase todo t, o sistema possui memória.

Passo 6

Para BIBO estabilidade tomamos uma entrada limitada, isto é, existe M tal que |x(t)|<= M para todo t. Então
|y(t)|=|x(t/2)|<= M
para todo t. Assim uma entrada limitada produz saída limitada, e o sistema é BIBO estável.

Resposta

Linear: sim
Causal: não
Invariante no tempo: sim
Memória: tem memória
BIBO estável: sim

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