Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Justifique as respostas
Passo 1
O sistema é dado por
Queremos avaliar as propriedades de linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Para isso vamos usar as definições clássicas: superposição para linearidade, teste de deslocamento para invariância no tempo, análise do instante de amostragem para causalidade e memória, e verificação de entrada limitada versus saída limitada para BIBO estabilidade.
Passo 2
Para testar a linearidade aplicamos superposição. Se definirmos
, então para quaisquer escalares
Isso mostra que o sistema satisfaz homogeneidade e aditividade, logo é linear.
Passo 3
Para verificar invariância no tempo consideramos um deslocamento
. Primeiro aplicamos o operador a
:
Por outro lado, deslocando a saída de
temos
Como ambas coincidem para todo
, o sistema é invariante no tempo.
Passo 4
O sistema é causal se para cada
a saída
depender apenas de
com
. Aqui
então quando
temos
, ou seja, a saída em
exige valores de
em instantes futuros. Logo o sistema é não causal.
Passo 5
O sistema é sem memória (memoryless) se
depender somente de
. Como aqui
depende de
com
para quase todo
, o sistema possui memória.
Passo 6
Para BIBO estabilidade tomamos uma entrada limitada, isto é, existe
tal que
para todo
. Então
para todo
. Assim uma entrada limitada produz saída limitada, e o sistema é BIBO estável.
Resposta
Linear: sim
Causal: não
Invariante no tempo: sim
Memória: tem memória
BIBO estável: sim
Causal: não
Invariante no tempo: sim
Memória: tem memória
BIBO estável: sim