A mudança de variáveis: lx=u v y=12(u^2-v^2), transforma a função f(x, y) de classe c^2 na função g(u, v).
Calcule partial gpartial u, partial gpartial v e partial^2 gpartial u partial v em função das derivadas parciais de f.

Passo 1

Tranquilo, mano? A ideia é que a gente tem a transformação
x = u,v, y = tfrac12l(u^2 - v^2r)
e define
g(u,v) = fl(x(u,v),,y(u,v)r),
onde f é de classe C^2. A tarefa é achar
partial gpartial u,;partial gpartial v
e a derivada mista partial^2 gpartial u,partial v.
Matéria envolvida: regra da cadeia para derivadas parciais (e, depois, produto).

Passo 2

Primeiro, bora tirar as derivadas de x e y:
x(u,v)=u,v ;implies; xu = v, xv = u,
y(u,v)=tfracu^2 - v^22 ;implies; yu = u, yv = -v
Agora a regra da cadeia em várias variáveis diz que, se
,g(u,v)=fl(x(u,v),y(u,v)r), então
gu = fx(x,y),xu ;+; fy(x,y),yu, gv = fx(x,y),xv ;+; fy(x,y),yv

Passo 3

Substituindo as derivadas de x e y aí em cima:
gu = fxcdot v ;+; fycdot u, gv = fxcdot u ;+; fycdot(-v) = u,fx - v,fy
Lembra que cada fx,fy tá avaliado em l(x(u,v),y(u,v)r).

Passo 4

Pra achar a mista guv=partialv(gu), repare que
;gu = fx,v + fy,u
é produto e composição. Logo,
partialv(fx,v) = (partialv fx),v + fxcdot1, partialv(fy,u) = (partialv fy),u + fycdot0
E pela cadeia
partialv fx = fxx,xv + fxy,yv, partialv fy = fyx,xv + fyy,yv,
com xv=u e yv=-v. Juntando tudo:
guv = (fxxu + fxy(-v)),v + fx + (fyxu + fyy(-v)),u
Como fxy=fyx, simplifica pra
guv = fx + fxy,(u^2 - v^2) + (fxx - fyy),u,v,
sempre avaliados em l(x(u,v),y(u,v)r).

Resposta

partial gpartial u(u,v) = v,fx!l(u,v,tfracu^2-v^22r) + u,fy!l(u,v,tfracu^2-v^22r),
partial gpartial v(u,v) = u,fx!l(u,v,tfracu^2-v^22r) - v,fy!l(u,v,tfracu^2-v^22r),
partial^2 gpartial u,partial v(u,v) = fx!l(u,v,tfracu^2-v^22r) + (u^2 - v^2),fxy!l(u,v,tfracu^2-v^22r) + u,v;l(fxx!l(u,v,tfracu^2-v^22r) - fyy!l(u,v,tfracu^2-v^22r)r)

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