Sendo prove que fazendo a mudança , onde w=xy-z, a equação acima se transforma em partial^2 wpartial u^2=12. (Admita a igualdade das derivadas parciais mistas.)
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente mostrar que, pra
partial^2 zpartial x^2 ;+;2,partial^2 zpartial x partial y;+;partial^2 zpartial y^2=0,
se a gente fizer a troca
u = x+y, v = x-y, w = xy - z,
a equação vira
partial^2 wpartial u^2 = tfrac12
É um lance de EDP e mudança de variáveis — vamos usar a regra da cadeia pra derivadas parciais e a igualdade das mistas.
Passo 2
Primeiro, invertendo a troca:
x = u+v2, y = u-v2
E como definimos
w = xy - z,
a gente escreve
z = xy - w = (u+v)(u-v)4 ;-; w(u,v) = u^2 - v^24 - w(u,v)
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia pra achar zx e zy. Sabendo que
ux=1,;vx=1,;uy=1,;vy=-1,
temos
zx = zu,ux + zv,vx = zu + zv, zy = zu,uy + zv,vy = zu - zv
Pra as segundas derivadas, derivamos de novo (e usamos zuv=zvu):