Sendo partial^2 zpartial x^2+2 partial^2 zpartial x partial y+partial^2 zpartial y^2=0 prove que fazendo a mudança lu=x+y v=x-y w=x y-z, onde w=xy-z, a equação acima se transforma em partial^2 wpartial u^2=12. (Admita a igualdade das derivadas parciais mistas.)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente mostrar que, pra
partial^2 zpartial x^2 ;+;2,partial^2 zpartial x partial y;+;partial^2 zpartial y^2=0,
se a gente fizer a troca
u = x+y, v = x-y, w = xy - z,
a equação vira
partial^2 wpartial u^2 = tfrac12
É um lance de EDP e mudança de variáveis — vamos usar a regra da cadeia pra derivadas parciais e a igualdade das mistas.

Passo 2

Primeiro, invertendo a troca:
x = u+v2, y = u-v2
E como definimos
w = xy - z,
a gente escreve
z = xy - w = (u+v)(u-v)4 ;-; w(u,v) = u^2 - v^24 - w(u,v)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia pra achar zx e zy. Sabendo que
ux=1,;vx=1,;uy=1,;vy=-1,
temos
zx = zu,ux + zv,vx = zu + zv, zy = zu,uy + zv,vy = zu - zv
Pra as segundas derivadas, derivamos de novo (e usamos zuv=zvu):
zxx &= (zu+zv)x = zuu + 2,zuv + zvv, zxy &= (zu+zv)y = zuu - zvv, zyy &= (zu - zv)y = zuu - 2,zuv + zvv

Passo 4

Substituindo na PDE original:
zxx + 2,zxy + zyy = (zuu+2zuv+zvv) +2(zuu-zvv) +(zuu-2zuv+zvv) =4,zuu
Como isso vale zero, fica
zuu = 0

Passo 5

Volta pra w:
w(u,v) = u^2 - v^24 - z(u,v)
Derivando duas vezes em u:
wuu = l(tfracu^24r)'' - zuu = tfrac12 - zuu
E como zuu=0, a gente chega em
wuu = tfrac12

Resposta

partial^2 wpartial u^2 ;=;tfrac12

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