Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Justifique as respostas
y[n]=2 x[n] u[n]

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema discreto
y[n]=2,x[n],u[n]
e pede para analisar as propriedades de linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Vamos usar as definições clássicas de cada uma dessas propriedades.

Passo 2

Linearidade
Um sistema S é linear se para quaisquer sinais x1[n], x2[n] e escalares a, b tivermos
Sa,x1[n]+b,x2[n]=a,Sx1[n]+b,Sx2[n]
No nosso caso
Sx[n]=2,x[n],u[n],
então
Sa,x1[n]+b,x2[n] =2l(a,x1[n]+b,x2[n]r)u[n] =al(2,x1[n]u[n]r)+bl(2,x2[n]u[n]r) =a,Sx1[n]+b,Sx2[n]
Logo, o sistema é linear.

Passo 3

Causalidade
Um sistema é causal se sua saída em n depende apenas de x[k] com k<= n. Aqui
y[n]=2,x[n],u[n]
depende somente de x[n] (e de u[n], que é conhecido a priori), logo não utiliza valores futuros de x. Portanto, o sistema é causal.

Passo 4

Invariância no tempo
Um sistema é invariante no tempo se, ao atrasar a entrada em n0, a saída também atrasa em n0. Se definirmos xd[n]=x[n-n0], a saída é
Sxd[n]=2,x[n-n0],u[n],
enquanto a saída atrasada de y[n] seria
y[n-n0]=2,x[n-n0],u[n-n0]
Como em geral u[n]neq u[n-n0], temos
Sxd[n]neq y[n-n0],
logo o sistema não é invariante no tempo.

Passo 5

Memória
Um sistema é sem memória (memoryless) se y[n] depende apenas de x[n] naquele instante. Aqui
y[n]=2,x[n],u[n]
não envolve x[k] para kneq n, então é um sistema sem memória.

Passo 6

BIBO estabilidade
O sistema é BIBO estável se todo x[n] limitado, isto é |x[n]|<= Bx<infty, gera uma saída limitada exists By<infty tal que |y[n]|<= By. Como
|y[n]|=|2,x[n],u[n]|<= 2,|x[n]|underbrace|u[n]|<=1<= 2,Bx,
temos uma cota finita para |y[n]|. Assim, o sistema é BIBO estável.

Resposta

Linear, causal, não invariante no tempo, sem memória (memoryless) e BIBO estável.

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