Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 raiz4-x^2 d x integral0^5 raizx^2+25 d x integral2^4 raizx^2-4 d x integral x^2raiz9-4 x^2 d x integral 1t^4 raiz1-t^2 d t integral x^2raizx^2-2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular seis integrais envolvendo radicais quadráticos e funções racionais de trigonométricas. As técnicas principais são as fórmulas padrão para
integral raiza^2-x^2,dx, integral raizx^2+a^2,dx, integral raizx^2-a^2,dx
e substituições trigonométricas (ou hiperbólicas) para lidar com expressões como raiz9-4x^2, raiz1-t^2 etc.

Passo 2

Calcular integral0^1raiz4-x^2,dx.
Usamos a fórmula
integral raiza^2-x^2,dx =x2raiza^2-x^2+a^22arcsin!l(xar)+C
com a=2. Então
integral0^1raiz4-x^2,dx =l[x2raiz4-x^2+2arcsin!l(tfracx2r)r]0^1 =12raiz3+2arcsin!l(tfrac12r) =raiz32+pi3

Passo 3

Calcular integral0^5raizx^2+25,dx.
Usamos a fórmula
integral raizx^2+a^2,dx =x2raizx^2+a^2+a^22lnl|x+raizx^2+a^2r|+C
com a=5. Então
integral0^5raizx^2+25,dx =l[x2raizx^2+25+252lnl(x+raizx^2+25r)r]0^5 =25raiz22+252ln!l(1+raiz2r)

Passo 4

Calcular integral2^4raizx^2-4,dx.
Usamos a fórmula
integral raizx^2-a^2,dx =x2raizx^2-a^2-a^22lnl|x+raizx^2-a^2r|+C
com a=2. Então
integral2^4raizx^2-4,dx =l[x2raizx^2-4-2lnl(x+raizx^2-4r)r]2^4 =4raiz3-2ln!l(2+raiz3r)

Passo 5

Calcular integral x^2raiz9-4x^2,dx.
Fazemos x=tfrac32sintheta, então raiz9-4x^2=3costheta e dx=tfrac32costheta,dtheta. A integral vira
integral l(tfrac32sinthetar)^23costhetacdottfrac32costheta,dtheta =278integralsin^2theta,dtheta =2716l(theta-sinthetacosthetar)+C
Voltando a x: theta=arcsin(tfrac2x3), sintheta=tfrac2x3, costheta=tfracraiz9-4x^23. Logo
integral x^2raiz9-4x^2,dx =2716arcsin!l(tfrac2x3r) -38,xraiz9-4x^2+C

Passo 6

Calcular integral 1t^4raiz1-t^2,dt.
Fazemos t=sin u, então raiz1-t^2=cos u e dt=cos u,du. A integral fica
integral 1sin^4u,cos u,cos u,du =integral csc^4u,du
Usamos v=cot u, dv=-csc^2u,du, e csc^4u=csc^2u(1+cot^2u). Assim
integral csc^4u,du =-integral(1+v^2),dv =-v-v^33+C =-cot u-tfrac13cot^3u+C
Voltando a t: cot u=tfracraiz1-t^2t. Portanto
integral 1t^4raiz1-t^2,dt =-raiz1-t^2t -13,(1-t^2)^3/2t^3+C

Passo 7

Calcular integral x^2raizx^2-2,dx.
Fazemos x=raiz2sectheta, logo raizx^2-2=raiz2tantheta e dx=raiz2secthetatantheta,dtheta. A integral torna-se
2integral sec^3theta,dtheta =secthetatantheta+lnl|sectheta+tanthetar|+C
Voltando a x: sectheta=tfracxraiz2, tantheta=tfracraizx^2-2raiz2. Assim
integral x^2raizx^2-2,dx =xraizx^2-22 +lnl(x+raizx^2-2r)+C

Resposta

integral0^1raiz4-x^2,dx =raiz32+pi3
integral0^5raizx^2+25,dx =25raiz22+252ln!l(1+raiz2r)
integral2^4raizx^2-4,dx =4raiz3-2ln!l(2+raiz3r)
integral x^2raiz9-4x^2,dx =2716arcsin!l(tfrac2x3r) -38,xraiz9-4x^2+C
integral 1t^4raiz1-t^2,dt =-raiz1-t^2t -13,(1-t^2)^3/2t^3+C
integral x^2raizx^2-2,dx =xraizx^2-22 +lnl(x+raizx^2-2r)+C

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