Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular seis integrais envolvendo radicais quadráticos e funções racionais de trigonométricas. As técnicas principais são as fórmulas padrão para
e substituições trigonométricas (ou hiperbólicas) para lidar com expressões como
,
etc.
Passo 2
Calcular
.
Usamos a fórmula
Usamos a fórmula
com
. Então
Passo 3
Calcular
.
Usamos a fórmula
Usamos a fórmula
com
a=5 . Então
Passo 4
Calcular
integral2^4raizx^2-4,dx .
Usamos a fórmula
Usamos a fórmula
com
a=2 . Então
Passo 5
Calcular
integral x^2raiz9-4x^2,dx .
Fazemosx=tfrac32sintheta , então
raiz9-4x^2=3costheta e
dx=tfrac32costheta,dtheta . A integral vira
Fazemos
Voltando a
x :
theta=arcsin(tfrac2x3) ,
sintheta=tfrac2x3 ,
costheta=tfracraiz9-4x^23 . Logo
Passo 6
Calcular
integral 1t^4raiz1-t^2,dt .
Fazemost=sin u , então
raiz1-t^2=cos u e
dt=cos u,du . A integral fica
Fazemos
Usamos
v=cot u ,
dv=-csc^2u,du , e
csc^4u=csc^2u(1+cot^2u) . Assim
Voltando a
t :
cot u=tfracraiz1-t^2t . Portanto
Passo 7
Calcular
integral x^2raizx^2-2,dx .
Fazemosx=raiz2sectheta , logo
raizx^2-2=raiz2tantheta e
dx=raiz2secthetatantheta,dtheta . A integral torna-se
Fazemos
Voltando a
x :
sectheta=tfracxraiz2 ,
tantheta=tfracraizx^2-2raiz2 . Assim