Seja f(x, y) uma função de classe C^2. Mostre que a mudança de variáveis lx=u-v y=u+v fornece fx x+fy y=2(fu u+fv v).

Passo 1

O enunciado pede para relacionar as derivadas segundas de
sabendo que para derivadas em .

Passo 2

Primeiro invertemos o sistema para exprimir u,v em função de x,y:
u = x + y2, v = -,x + y2
Dessa forma,
ux = 12, uy = 12, vx = -12, vy = 12

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia às primeiras derivadas, escrevemos
fx = fu,ux + fv,vx = 12,fu ;-;12,fv = fu - fv2,
fy = fu,uy + fv,vy = 12,fu ;+;12,fv = fu + fv2

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas em x e em y por nova aplicação da regra da cadeia. Usando sempre ux,vx,uy,vy constantes, obtém-se
fxx = partialpartial xl(tfracfu - fv2r) = l(tfrac12 fuu-tfrac12 fuvr)ux +l(tfrac12 fuv-tfrac12 fvvr)vx,
e substituindo ux=tfrac12,vx=-tfrac12 chega-se a
fxx = 14,fuu -12,fuv +14,fvv
De modo análogo,
fyy = l(tfrac12 fuu+tfrac12 fuvr)uy +l(tfrac12 fuv+tfrac12 fvvr)vy = 14,fuu +12,fuv +14,fvv

Passo 5

Somando fxx+fyy os termos cruzados fuv se cancelam e os quadráticos somam de forma idêntica:
fxx+fyy = l(tfrac14+tfrac14r)fuu + l(-tfrac12+tfrac12r)fuv + l(tfrac14+tfrac14r)fvv = 12,fuu + 12,fvv = fuu+fvv2

Resposta

fxx+fyy = tfrac12l(fuu+fvvr)

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