Seja
uma função de classe
. Mostre que a mudança de variáveis
fornece
.
Passo 1
O enunciado pede para relacionar as derivadas segundas de
sabendo que para derivadas em
.
Passo 2
Primeiro invertemos o sistema para exprimir
em função de
:
Dessa forma,
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia às primeiras derivadas, escrevemos
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas em
e em
por nova aplicação da regra da cadeia. Usando sempre
constantes, obtém-se
e substituindo
chega-se a
De modo análogo,
Passo 5
Somando
os termos cruzados
se cancelam e os quadráticos somam de forma idêntica: