Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
y(t)=x(|t|)

Passo 1

Então, temos esse sistema que recebe uma entrada x(t) e gera uma saída y(t) = x(|t|) . O que precisamos fazer é avaliar esse sistema em relação a cinco propriedades fundamentais: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e estabilidade BIBO. Para isso, vamos entender cada uma dessas propriedades e verificar se o sistema as satisfaz.

Passo 2

Linearidade: Um sistema é linear se ele satisfaz os princípios da aditividade e da homogeneidade. Basicamente, se você somar duas entradas e ver o que acontece com as saídas, ou multiplicar uma entrada por uma constante, o sistema deve responder de forma proporcional.
Vamos testar:
Se y1(t) = x1(|t|) e y2(t) = x2(|t|) , então para uma combinação linear a cdot x1(t) + b cdot x2(t) , a saída será a cdot x1(|t|) + b cdot x2(|t|) . Isso mostra que o sistema é linear.

Passo 3

Causalidade: Um sistema é causal se a saída em qualquer instante t depende apenas dos valores da entrada para t' <= t . Ou seja, ele não “responde” a futuras entradas.
No nosso sistema, y(t) = x(|t|) . Se t for positivo, |t| = t , então y(t) depende de x(t) . Mas se t for negativo, |t| = -t , então y(t) depende de x(-t) , ou seja, de um valor futuro da entrada. Portanto, o sistema não é causal.

Passo 4

Invariância no Tempo: Um sistema é invariante no tempo se, ao deslocar a entrada no tempo, a saída também se desloca da mesma forma.
Vamos deslocar a entrada: se a entrada for x(t - t0) , a saída será y(t) = x(|t| - t0) . Porém, isso não é igual a y(t - t0) = x(|t - t0|) , a menos que t0 = 0 . Portanto, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 5

Memória: Um sistema tem memória se a saída em um instante t depende de valores da entrada em outros instantes além de t .
No sistema y(t) = x(|t|) , para t > 0 , y(t) depende de x(t) ; para t < 0 , depende de x(-t) . Isso significa que, para t < 0 , a saída depende de x em outro instante -t . Portanto, o sistema tem memória.

Passo 6

Estabilidade BIBO: Um sistema é BIBO (Bounded Input, Bounded Output) estável se toda entrada limitada gera uma saída limitada.
Se |x(t)| <= M para algum M , então |y(t)| = |x(|t|)| <= M . Portanto, o sistema é BIBO estável.

Resposta

O sistema y(t) = x(|t|) é linear, não é causal, não é invariante no tempo, tem memória e é BIBO estável.

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