Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
Passo 1
Então, temos esse sistema que recebe uma entrada
e gera uma saída
. O que precisamos fazer é avaliar esse sistema em relação a cinco propriedades fundamentais: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e estabilidade BIBO. Para isso, vamos entender cada uma dessas propriedades e verificar se o sistema as satisfaz.
Passo 2
Linearidade: Um sistema é linear se ele satisfaz os princípios da aditividade e da homogeneidade. Basicamente, se você somar duas entradas e ver o que acontece com as saídas, ou multiplicar uma entrada por uma constante, o sistema deve responder de forma proporcional.
Vamos testar:
Se e
, então para uma combinação linear
, a saída será
. Isso mostra que o sistema é linear.
Se
Passo 3
Causalidade: Um sistema é causal se a saída em qualquer instante
depende apenas dos valores da entrada para
. Ou seja, ele não “responde” a futuras entradas.
No nosso sistema,
. Se
for positivo,
, então
depende de
. Mas se
for negativo,
, então
depende de
, ou seja, de um valor futuro da entrada. Portanto, o sistema não é causal.
Passo 4
Invariância no Tempo: Um sistema é invariante no tempo se, ao deslocar a entrada no tempo, a saída também se desloca da mesma forma.
Vamos deslocar a entrada: se a entrada for
, a saída será
. Porém, isso não é igual a
, a menos que
. Portanto, o sistema não é invariante no tempo.
Passo 5
Memória: Um sistema tem memória se a saída em um instante
depende de valores da entrada em outros instantes além de
.
No sistema
, para
,
depende de
; para
, depende de
. Isso significa que, para
, a saída depende de
em outro instante
. Portanto, o sistema tem memória.
Passo 6
Estabilidade BIBO: Um sistema é BIBO (Bounded Input, Bounded Output) estável se toda entrada limitada gera uma saída limitada.
Se
para algum
, então
. Portanto, o sistema é BIBO estável.
Resposta
O sistema
é linear, não é causal, não é invariante no tempo, tem memória e é BIBO estável.