Dados o espaço vetorial
de dimensão
e
um operador, considere
e
bases de
então prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que precisamos provar é que, dado um espaço vetorial
de dimensão
e um operador linear
, o polinômio característico de
é o mesmo em duas bases diferentes
e
. Ou seja, mostrar que
. Para isso, vamos precisar entender o que é o polinômio característico e como ele está relacionado às matrizes que representam o operador em diferentes bases.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio característico. Para um operador linear
representado por uma matriz
em uma base
, o polinômio característico é definido como:
onde
é a matriz identidade e
é uma variável.
Passo 3
Agora, precisamos ver o que acontece quando mudamos de base. Se temos outra base
, a matriz que representa
nessa base é
. Existe uma relação de similaridade entre
e
:
onde
é a matriz de mudança de base de
para
.
Passo 4
Vamos aplicar isso no polinômio característico de
:
Usando propriedades de determinantes, sabemos que
. Então podemos reescrever:
Passo 5
Perceba que
. Assim, o polinômio característico fica:
Ou seja,
.
Resposta
Portanto, mostramos que
, ou seja, o polinômio característico do operador
é o mesmo em qualquer base escolhida.