Dados o espaço vetorial V de dimensão n e T um operador, considere beta e alpha bases de V então prove que pbeta(lambda)=palpha(lambda).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que precisamos provar é que, dado um espaço vetorial V de dimensão n e um operador linear T , o polinômio característico de T é o mesmo em duas bases diferentes beta e alpha . Ou seja, mostrar que pbeta(lambda) = palpha(lambda) . Para isso, vamos precisar entender o que é o polinômio característico e como ele está relacionado às matrizes que representam o operador em diferentes bases.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio característico. Para um operador linear T representado por uma matriz [T]beta em uma base beta , o polinômio característico é definido como:
pbeta(lambda) = det([T]beta - lambda I)
onde I é a matriz identidade e lambda é uma variável.

Passo 3

Agora, precisamos ver o que acontece quando mudamos de base. Se temos outra base alpha , a matriz que representa T nessa base é [T]alpha . Existe uma relação de similaridade entre [T]beta e [T]alpha :
[T]alpha = P^-1 [T]beta P
onde P é a matriz de mudança de base de beta para alpha .

Passo 4

Vamos aplicar isso no polinômio característico de alpha :
palpha(lambda) = det([T]alpha - lambda I) = det(P^-1 [T]beta P - lambda I)
Usando propriedades de determinantes, sabemos que det(ABC) = det(A)det(B)det(C) . Então podemos reescrever:
det(P^-1 ([T]beta - lambda I) P) = det(P^-1) det([T]beta - lambda I) det(P)

Passo 5

Perceba que det(P^-1) det(P) = det(P^-1 P) = det(I) = 1 . Assim, o polinômio característico fica:
palpha(lambda) = det([T]beta - lambda I)
Ou seja, palpha(lambda) = pbeta(lambda) .

Resposta

Portanto, mostramos que pbeta(lambda) = palpha(lambda) , ou seja, o polinômio característico do operador T é o mesmo em qualquer base escolhida.

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