Dada a transformação linear T: R^3 R^3, de modo que o autovalor lambda=3 possui o autoespaço gerado por >=r(1,2,0),(1,0,-1) e lambda=5 possui o autoespaço gerado por ger (-2,2,1). Encontre uma escrita para T(x, y, z).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^3 to R^3 que tem autovalor lambda=3 com autoespaço gerado por (1,2,0),(1,0,-1) e autovalor lambda=5 com autoespaço gerado por (-2,2,1). Vamos usar a base de autovetores para diagonalizar T, ou seja, expressar um vetor arbitrário (x,y,z) nessa base, aplicar T diagonal e voltar à base canônica.

Passo 2

Escolhemos a base de autovetores
v1=(1,2,0), v2=(1,0,-1), v3=(-2,2,1)
Como v1,v2 são independentes (mesmo autovalor) e v3 tem autovalor diferente, v1,v2,v3 é base de R^3. Nessa base, a matriz de T é
3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5

Passo 3

Escrevemos (x,y,z)=alpha v1+beta v2+gamma v3, isto é,
alpha+beta-2gamma = x, 2alpha;;+;0beta+2gamma = y, ;0alpha-beta+gamma = z
Dessa forma resolve-se
gamma=y-2x-2z4, beta=gamma - z=y-2x-6z4, alpha=;x+gamma+z=2x+y+2z4

Passo 4

Agora T( v1)=3 v1, T( v2)=3 v2, T( v3)=5 v3. Logo para (x,y,z)=alpha v1+beta v2+gamma v3 temos
T(x,y,z)=3alpha, v1+3beta, v2+5gamma, v3

Passo 5

Substituindo alpha,beta,gamma e expandindo em coordenadas canônicas, encontra-se
T(x,y,z) =l(5x - y +2z,,-2x+4y-2z,,-x+tfrac12y+2zr)

Resposta

T(x,y,z)=l(5x - y +2z,,-2x+4y-2z,,-x+tfrac12y+2zr)

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