Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
y[n]=x[2 n]

Passo 1

Beleza! Vamos analisar o sistema y[n] = x[2n] . Estamos trabalhando com sistemas de processamento de sinais na área de Engenharia ou Matemática Aplicada. Para resolver isso, a gente vai verificar se o sistema é linear, causal, invariante no tempo, tem memória e se é estável no sentido BIBO. Para isso, vamos lembrar das definições de cada um desses conceitos e aplicar ao sistema dado.

Passo 2

Linearidade
Primeiro, vamos falar sobre linearidade. Um sistema é linear se ele satisfaz os princípios da superposição e da homogeneidade. Isso significa que se você tem duas entradas x1[n] e x2[n] , e duas constantes a e b , então:
y[n] = a cdot x1[2n] + b cdot x2[2n]
Isso é igual a:
y[n] = (a cdot x1[n] + b cdot x2[n]) cdot 2n
Portanto, o sistema é linear porque a saída é uma combinação linear das entradas.

Passo 3

Causalidade
Agora, vamos ver a causalidade. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante n depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, ou seja, x[k] para k <= n .
No nosso sistema y[n] = x[2n] , a saída em n depende de x[2n] . Se n for positivo, 2n também é positivo, então x[2n] é um valor futuro em relação a n , o que não é permitido para ser causal. Portanto, o sistema não é causal.

Passo 4

Invariância no Tempo
Vamos falar sobre invariância no tempo. Um sistema é invariante no tempo se, ao atrasar a entrada no tempo, a saída também é atrasada da mesma forma.
Vamos atrasar a entrada por n0 :
Entrada atrasada: x[n - n0]
Saída correspondente:
y[n] = x[2n - n0]
Agora, se atrasarmos a saída do sistema original:
Saída atrasada:
y[n - n0] = x[2(n - n0)] = x[2n - 2n0]
Comparando as duas expressões:
x[2n - n0] neq x[2n - 2n0]
Como elas não são iguais, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 5

Memória
Vamos analisar a memória do sistema. Um sistema tem memória se a saída em n depende de valores passados ou futuros da entrada. Se a saída depende apenas do valor presente da entrada, o sistema é sem memória.
No sistema y[n] = x[2n] , a saída em n depende de x[2n] . Isso significa que para calcular y[n] , precisamos apenas de x no instante 2n . Como não dependemos de valores passados ou futuros além de 2n , o sistema é sem memória.

Passo 6

BIBO Estabilidade
Por último, vamos verificar a estabilidade BIBO (Bounded Input, Bounded Output). Um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada gera uma saída limitada.
Se |x[n]| <= B para algum B , então:
|y[n]| = |x[2n]| <= B
Portanto, independente de como a entrada é transformada por 2n , se a entrada é limitada, a saída também será limitada. Então, o sistema é BIBO estável.

Resposta

  • Linear: Sim
  • Causal: Não
  • Invariante no Tempo: Não
  • Memória: Sem memória
  • BIBO Estável: Sim

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