Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
Passo 1
Beleza! Vamos analisar o sistema
. Estamos trabalhando com sistemas de processamento de sinais na área de Engenharia ou Matemática Aplicada. Para resolver isso, a gente vai verificar se o sistema é linear, causal, invariante no tempo, tem memória e se é estável no sentido BIBO. Para isso, vamos lembrar das definições de cada um desses conceitos e aplicar ao sistema dado.
Passo 2
Linearidade
Primeiro, vamos falar sobre linearidade. Um sistema é linear se ele satisfaz os princípios da superposição e da homogeneidade. Isso significa que se você tem duas entradas
e
, e duas constantes
e
, então:
Isso é igual a:
Portanto, o sistema é linear porque a saída é uma combinação linear das entradas.
Passo 3
Causalidade
Agora, vamos ver a causalidade. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante
depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, ou seja,
para
.
No nosso sistema
, a saída em
depende de
. Se
for positivo,
também é positivo, então
é um valor futuro em relação a
, o que não é permitido para ser causal. Portanto, o sistema não é causal.
Passo 4
Invariância no Tempo
Vamos falar sobre invariância no tempo. Um sistema é invariante no tempo se, ao atrasar a entrada no tempo, a saída também é atrasada da mesma forma.
Vamos atrasar a entrada por
:
Entrada atrasada:
Saída correspondente:
Agora, se atrasarmos a saída do sistema original:
Saída atrasada:
Comparando as duas expressões:
Como elas não são iguais, o sistema não é invariante no tempo.
Passo 5
Memória
Vamos analisar a memória do sistema. Um sistema tem memória se a saída em
depende de valores passados ou futuros da entrada. Se a saída depende apenas do valor presente da entrada, o sistema é sem memória.
No sistema
, a saída em
depende de
. Isso significa que para calcular
, precisamos apenas de
no instante
. Como não dependemos de valores passados ou futuros além de
, o sistema é sem memória.
Passo 6
BIBO Estabilidade
Por último, vamos verificar a estabilidade BIBO (Bounded Input, Bounded Output). Um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada gera uma saída limitada.
Se
para algum
, então:
Portanto, independente de como a entrada é transformada por
, se a entrada é limitada, a saída também será limitada. Então, o sistema é BIBO estável.
Resposta
- Linear: Sim
- Causal: Não
- Invariante no Tempo: Não
- Memória: Sem memória
- BIBO Estável: Sim