Questão 2: Dada a matriz
C=[ccc 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 4 & 1 & 1 ]
(a) Calcule det(C). (b) Verifique se C é invertível.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
C= 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 4 & 1 & 1
e pede (a) o determinante det(C) e (b) verificar se C é invertível. O conteúdo necessário é a definição de determinante de uma matriz 3times3 e o critério de invertibilidade: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Para calcular det(C) vamos usar a expansão pela primeira linha:
det(C)=c11,M11-c12,M12+c13,M13,
onde c1j é o elemento da primeira linha e M1j é o determinante do menor obtido eliminando a linha 1 e a coluna j.

Passo 3

Calcular M11: é o determinante de
0 & -2 1 & 1 ,
ou seja
M11=0cdot1 -(-2)cdot1 = 2

Passo 4

Calcular M12: é o determinante de
1 & -2 4 & 1 ,
ou seja
M12=1cdot1 -(-2)cdot4 = 1 + 8 = 9

Passo 5

Calcular M13: é o determinante de
1 & 0 4 & 1 ,
ou seja
M13=1cdot1 - 0cdot4 = 1
Portanto
det(C)=2cdot2 -(-1)cdot9 + 3cdot1 = 4 + 9 + 3 = 16

Passo 6

Como det(C)=16neq0, concluímos que C é invertível, pois uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Resposta

det(C)=16.
C é invertível.

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