Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
y(t)=x(t-3)+x(2-t)

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema contínuo no tempo definido por
y(t) = x(t - 3) ;+; x(2 - t)
O conteúdo aqui é a classificação de sistemas segundo cinco propriedades: linearidade, causalidade, invariância no tempo, presença de memória e estabilidade BIBO. Para resolver, vamos aplicar as definições de cada propriedade ao sistema acima.

Passo 2

Verificando linearidade: suponha duas entradas x1(t) e x2(t) com saídas correspondentes
y1(t) = x1(t-3) + x1(2-t), y2(t) = x2(t-3) + x2(2-t)
Para uma combinação linear x(t)=a,x1(t)+b,x2(t) temos
y(t) = x(t-3)+x(2-t) = a,x1(t-3)+b,x2(t-3) +,a,x1(2-t)+b,x2(2-t) = a,y1(t)+b,y2(t)
Logo, o sistema satisfaz superposição e é linear.

Passo 3

Verificando causalidade: um sistema é causal se, para cada t0, y(t0) depende apenas de x(tau) com tau<= t0. Aqui aparecem os termos x(t-3), que olha para tau=t-3<= t, mas também x(2-t). Se, por exemplo, t0=0 então y(0) depende de x(2), que é um valor futuro de x. Portanto o sistema não é causal.

Passo 4

Verificando invariância no tempo: aplique um deslocamento de t0 na entrada, x'(t)=x(t-t0). Então
y'(t)=x'(t-3)+x'(2-t) =x(t-t0-3)+x(2-t-t0)
Já a saída deslocada seria
y(t-t0) = x(t-t0-3)+xl(2-(t-t0)r) = x(t-t0-3)+x(2-t+t0)
Os termos x(2-t-t0) e x(2-t+t0) não coincidem em geral, logo não é invariante no tempo.

Passo 5

Verificando memória: um sistema é sem memória (sem estado) se y(t) depende apenas de x(t). Aqui há dependência de x em instantes t-3 e 2-tneq t, portanto tem memória.

Passo 6

Verificando estabilidade BIBO: se existe M<infty tal que lvert x(t)rvert<= M para todo t, então
lvert y(t)rvert <= lvert x(t-3)rvert + lvert x(2-t)rvert <= M + M = 2,M,
ou seja, y(t) também fica limitada. Logo o sistema é BIBO estável.

Resposta

Linear, não causal, não invariante no tempo, com memória e BIBO estável.

Exercícios relacionados