Determine a resposta ao impulso dos sistemas descritos por
& a) y[n]=sumk=-infty^+infty(n-k) x[k] u[n-k] & b) y[n]=sumk=-infty^+infty(k-1) x[n-k] u[k-1] & c) y(t)=integral-infty^+infty x(tau) e^-t+tau u(t-tau) d tau
e classifique-os quanto à: linearidade, invariância no tempo, causalidade e BIBO estabilidade.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a resposta ao impulso de cada sistema, ou seja, para cada sistema y dado em função de x, colocamos x[k]=de<a[k] (ou x(tau)=de<a(tau) no caso contínuo) e calculamos h. Em seguida classificamos cada sistema quanto a linearidade, invariância no tempo, causalidade e estabilidade BIBO.

Passo 2

Para o sistema (a) temos
y[n]=sumk=-infty^+infty(n-k),x[k],u[n-k]
Substituindo x[k]=de<a[k] só fica o termo k=0, logo
ha[n]=y[n]|x[k]=de<a[k]=(n-0),u[n-0]=n,u[n]

Passo 3

Classificação do sistema (a):
– Linearidade: é linear (é soma ponderada de x[k]).
– Invariância no tempo: é invariante (existe convolução discreta com ha[n]).
– Causalidade: é causal pois ha[n]=0 para n<0.
– Estabilidade BIBO: instável, pois
sumn=-infty^inftyl|ha[n]r| =sumn=0^inftyn=infty

Passo 4

Para o sistema (b) temos
y[n]=sumk=-infty^+infty(k-1),x[n-k],u[k-1]
Basta notar que é convolução discreta com
hb[k]=(k-1),u[k-1],
pois
y[n]=sumk(k-1),u[k-1],x[n-k]
Logo, para impulso x[n]=de<a[n] fica
hb[n]=(n-1),u[n-1]

Passo 5

Classificação do sistema (b):
– Linearidade: linear.
– Invariância no tempo: invariante (forma de convolução).
– Causalidade: causal pois hb[n]=0 para n<1 (em particular para n<0).
– Estabilidade BIBO: instável, pois
sumn=-infty^inftyl|hb[n]r| =sumn=1^infty(n-1)=infty

Passo 6

Para o sistema (c) temos
y(t)=integral-infty^+inftyx(tau),e^-t+tau,u(t-tau),dtau =integral-infty^tx(tau),e^-(t-tau),dtau,
que é convolução contínua com
hc(t-tau)=e^-(t-tau),u(t-tau)
Substituindo x(tau)=de<a(tau)
hc(t)=e^-t,u(t)

Passo 7

Classificação do sistema (c):
– Linearidade: linear.
– Invariância no tempo: invariante (é convolução contínua).
– Causalidade: causal pois hc(t)=0 para t<0.
– Estabilidade BIBO: estável, pois
integral-infty^inftyl|hc(t)r|,dt =integral0^inftye^-t,dt=1<infty

Resposta

a) ha[n]=n,u[n]. Sistema linear, invariante no tempo, causal e BIBO instável.
b) hb[n]=(n-1),u[n-1]. Sistema linear, invariante no tempo, causal e BIBO instável.
c) hc(t)=e^-t,u(t). Sistema linear, invariante no tempo, causal e BIBO estável.

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