Determine a resposta ao impulso dos sistemas descritos por
e classifique-os quanto à: linearidade, invariância no tempo, causalidade e BIBO estabilidade.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos a resposta ao impulso de cada sistema, ou seja, para cada sistema dado em função de , colocamos (ou no caso contínuo) e calculamos . Em seguida classificamos cada sistema quanto a linearidade, invariância no tempo, causalidade e estabilidade BIBO.
Passo 2
Para o sistema (a) temos
Substituindo só fica o termo , logo
Passo 3
Classificação do sistema (a):
– Linearidade: é linear (é soma ponderada de x[k]).
– Invariância no tempo: é invariante (existe convolução discreta com ha[n]).
– Causalidade: é causal pois ha[n]=0 para n<0.
– Estabilidade BIBO: instável, pois
sumn=-infty^inftyl|ha[n]r| =sumn=0^inftyn=infty
Passo 4
Para o sistema (b) temos
y[n]=sumk=-infty^+infty(k-1),x[n-k],u[k-1]
Basta notar que é convolução discreta com
hb[k]=(k-1),u[k-1],
pois
y[n]=sumk(k-1),u[k-1],x[n-k]
Logo, para impulso x[n]=de<a[n] fica
hb[n]=(n-1),u[n-1]
Passo 5
Classificação do sistema (b):
– Linearidade: linear.
– Invariância no tempo: invariante (forma de convolução).
– Causalidade: causal pois hb[n]=0 para n<1 (em particular para n<0).
– Estabilidade BIBO: instável, pois
Classificação do sistema (c):
– Linearidade: linear.
– Invariância no tempo: invariante (é convolução contínua).
– Causalidade: causal pois hc(t)=0 para t<0.
– Estabilidade BIBO: estável, pois
a) ha[n]=n,u[n]. Sistema linear, invariante no tempo, causal e BIBO instável.
b) hb[n]=(n-1),u[n-1]. Sistema linear, invariante no tempo, causal e BIBO instável.
c) hc(t)=e^-t,u(t). Sistema linear, invariante no tempo, causal e BIBO estável.