Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
y(t)=cos (3 t) x^2(t)

Passo 1

O enunciado fornece o sistema
y(t)=cos(3t),x^2(t)
e pede para avaliar as seguintes propriedades de sinais e sistemas:
– Linearidade (teste de superposição e homogeneidade)
– Causalidade (dependência de valores passados ou futuros)
– Invariância no tempo (resposta a um deslocamento de entrada)
– Memória (se depende só do instante presente ou de outros instantes)
– BIBO estabilidade (resposta a entrada limitada)

Passo 2

Verificação de linearidade.
Para testar superposição, considere duas entradas x1(t) e x2(t). A saída para a soma é
yl(x1+x2r)=cos(3t)l[x1(t)+x2(t)r]^2 =cos(3t)l[x1^2(t)+2x1(t)x2(t)+x2^2(t)r]
Isso não é igual a
cos(3t)x1^2(t)+cos(3t)x2^2(t)=yl(x1r)+yl(x2r),
logo o sistema falha no critério de aditividade. Portanto não é linear.

Passo 3

Causalidade e memória.
A saída y(t) em cada instante t depende apenas de x(t) e de cos(3t), sem referência a x(tau) para tauneq t. Isso implica que:
– O sistema é casual, pois não usa valores futuros ( tau>t).
– É sem memória (memoryless), pois não depende de instantes passados ( tau<t).

Passo 4

Invariância no tempo.
Desloque a entrada: x'(t)=x(t-t0). A saída correspondente seria
y'(t)=cosl(3tr),x'^2(t) =cos(3t),x^2(t-t0)
Por outro lado, deslocar a saída original dá
y(t-t0)=cosl(3(t-t0)r),x^2(t-t0) =cos(3t-3t0),x^2(t-t0)
Como cos(3t)neqcos(3t-3t0) em geral, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 5

BIBO estabilidade.
Se a entrada é limitada, isto é, existe M tal que lvert x(t)rvert<= M para todo t, então
lvert y(t)rvert =llvertcos(3t)rrvert,llvert x(t)rrvert^2 <= 1cdot M^2=M^2,
ou seja, y(t) também fica limitada. Logo o sistema é BIBO estável.

Resposta

linearidade: não linear
causalidade: causal
invariância no tempo: variante
memória: sem memória
BIBO estabilidade: estável

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