Considere o sistema cuja a entrada [x(t)) e a saída são relacionadas por:
sendo . Esse sistema é linear? É um sistema causal?

Passo 1

O sistema em questão relaciona entrada e saída por
y(t)= x(t), & t <= alpha, 0, & t > alpha,
onde alpha é uma constante fixa.
Conteúdo: propriedades de linearidade (superposição e homogeneidade) e definição de causalidade (em cada instante t0, a saída y(t0) depende apenas de valores de entrada em instantes s<= t0).

Passo 2

Verificação da linearidade. Sejam duas entradas x1(t) e x2(t) e escalares a,b. Definimos
y(t)=Tl[a,x1(t)+b,x2(t)r]
Para t<=alpha tem-se
T[a x1 + b x2](t) = a,x1(t)+b,x2(t) = a,T[x1](t)+b,T[x2](t)
Para t>alpha temos
T[a x1 + b x2](t)=0 e a,T[x1](t)+b,T[x2](t)=acdot0+bcdot0=0
Logo, em ambos os casos
T[a x1 + b x2](t)=a,T[x1](t)+b,T[x2](t),
o que prova que o sistema é linear.

Passo 3

Verificação da causalidade. Seja um instante arbitrário t0.
  • Se t0<=alpha, então y(t0)=x(t0), que depende apenas de x no mesmo instante t0.
  • Se t0>alpha, então y(t0)=0, que não depende de nenhum valor futuro de x.
    Em nenhum caso a saída em t0 exige conhecimento de x(s) para s>t0. Portanto o sistema é causal.

Resposta

O sistema é linear e causal.

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