Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
Passo 1
O enunciado define o sistema
e pede que a gente verifique as propriedades de linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO--estabilidade. Vamos usar os conceitos de superposição para linearidade, dependência de instantes para causalidade e memória, checar se a lei do sistema muda quando deslocamos o tempo para invariância, e usar o critério de entrada limitada (bounded) para BIBO--estabilidade.
Passo 2
Para testar linearidade, consideramos duas entradas
e
com saídas
e
. Para qualquer constantes
e
, definimos
. Se o sistema for linear, a saída será
Para
temos sempre
, o que respeita a combinação linear de zeros. Para
Logo, o sistema é linear.
Passo 3
Para verificar causalidade, checamos se
usa apenas
com
. No trecho
,
independe de qualquer
. Para
, temos
. Note que
, ou seja, só usamos valores presentes ou passados de
. Não há dependência de
em instantes futuros. Portanto, o sistema é causal.
Passo 4
Para testar invariância no tempo, aplicamos um deslocamento
que é
Mas deslocar a saída original daria
As duas expressões não coincidem para todos os muda com o deslocamento. Logo, o sistema não é invariante no tempo.
Passo 5
O sistema olha para
e para
, ou seja, precisa guardar informação de instantes passados (
). Logo, ele possui memória.
Passo 6
Para BIBO--estabilidade, suponha que
para todo
. Então para
,
. Para
,
Portanto, a saída é limitada sempre que a entrada for limitada, ou seja, o sistema é BIBO--estável.
Resposta
O sistema é
linear,
causal,
não invariante no tempo,
com memória,
e BIBO--estável.
linear,
causal,
não invariante no tempo,
com memória,
e BIBO--estável.