Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
y(t)= 0, & t<0 x(t)+x(t-3), & t >= 0

Passo 1

O enunciado define o sistema
y(t)= 0, & t<0, x(t)+x(t-3), & t>= 0,
e pede que a gente verifique as propriedades de linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO--estabilidade. Vamos usar os conceitos de superposição para linearidade, dependência de instantes para causalidade e memória, checar se a lei do sistema muda quando deslocamos o tempo para invariância, e usar o critério de entrada limitada (bounded) para BIBO--estabilidade.

Passo 2

Para testar linearidade, consideramos duas entradas x1(t) e x2(t) com saídas y1(t) e y2(t). Para qualquer constantes alpha e beta, definimos x(t)=alpha x1(t)+beta x2(t). Se o sistema for linear, a saída será
y(t)=alpha y1(t)+beta y2(t)
Para t<0 temos sempre y(t)=0, o que respeita a combinação linear de zeros. Para t>=0
y(t)=x(t)+x(t-3) =l(alpha x1(t)+beta x2(t)r)+l(alpha x1(t-3)+beta x2(t-3)r) =alphal[x1(t)+x1(t-3)r]+betal[x2(t)+x2(t-3)r] =alpha y1(t)+beta y2(t)
Logo, o sistema é linear.

Passo 3

Para verificar causalidade, checamos se y(t) usa apenas x(tau) com tau<= t. No trecho t<0, y(t)=0 independe de qualquer x. Para t>=0, temos y(t)=x(t)+x(t-3). Note que t-3<= t, ou seja, só usamos valores presentes ou passados de x. Não há dependência de x em instantes futuros. Portanto, o sistema é causal.

Passo 4

Para testar invariância no tempo, aplicamos um deslocamento
que é
Mas deslocar a saída original daria
As duas expressões não coincidem para todos os muda com o deslocamento. Logo, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 5

O sistema olha para x(t) e para x(t-3), ou seja, precisa guardar informação de instantes passados ( t-3). Logo, ele possui memória.

Passo 6

Para BIBO--estabilidade, suponha que lvert x(t)rvert<= B<infty para todo t. Então para t<0, lvert y(t)rvert=0. Para t>=0,
lvert y(t)rvert=lvert x(t)+x(t-3)rvert<= lvert x(t)rvert+lvert x(t-3)rvert<= B+B=2B
Portanto, a saída é limitada sempre que a entrada for limitada, ou seja, o sistema é BIBO--estável.

Resposta

O sistema é
linear,
causal,
não invariante no tempo,
com memória,
e BIBO--estável.

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