Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
y(t)=integralinfty^2 t x(tau) d tau

Passo 1

O enunciado define o sistema contínuo
y(t)=integralinfty^2tx(tau),dtau
e pede para verificar as propriedades de linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO--estabilidade. Para isso usaremos as definições clássicas:
  • Linearidade: superposição e escala.
  • Causalidade: y(t) depende apenas de x(tau) com tau<= t.
  • Invariância no tempo: atraso da entrada provoca mesmo atraso na saída.
  • Memória: depende de valores passados/futuros de x ou só de x(t).
  • BIBO--estabilidade: se lvert x(t)rvert<= M<infty, então suptlvert y(t)rvert<infty.

Passo 2

Verificamos a linearidade. Para entradas x1,x2 e escala alpha,beta temos
yalpha x1+beta x2(t) =integralinfty^2tl(alpha x1(tau)+beta x2(tau)r)dtau =alphaintegralinfty^2tx1(tau)dtau +betaintegralinfty^2tx2(tau)dtau =alpha y1(t)+beta y2(t)
Logo o sistema é linear.

Passo 3

Verificamos a causalidade. Para um dado t, o integral vai de tau=2t até tau=infty, ou seja depende de x(tau) para tau>t (quando t>0, por exemplo). Como usa valores futuros de x, o sistema não é causal.

Passo 4

Verificamos a invariância no tempo. Seja x1(t)=x(t-t0). Então
y1(t) =integralinfty^2tx(tau-t0),dtau = integralinfty^2t-t0x(u),du
enquanto
y(t-t0) =integralinfty^2(t-t0)x(u),du =integralinfty^2t-2t0x(u),du
Como 2t-t0neq2t-2t0 em geral, não há coincidência, logo o sistema é variante no tempo.

Passo 5

Sobre memória: y(t) envolve uma integral de x(tau) em um intervalo em volta de 2t, não depende apenas de x(t). Portanto o sistema possui memória.

Passo 6

Analisamos BIBO--estabilidade. Se lvert x(tau)rvert<= M, então
lvert y(t)rvert =llvertintegralinfty^2tx(tau)dtaurrvert =llvert-integral2t^inftyx(tau)dtaurrvert <=integral2t^inftylvert x(tau)rvert dtau <= Mintegral2t^inftydtau =Ml(infty-2tr)=infty
Logo há entradas limitadas que produzem saída não limitada, e o sistema não é BIBO--estável.

Resposta

linear; não causal; não invariante no tempo; possui memória; não BIBO--estável.

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