Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
y[n]=x[n-3]-2 x[n-8]

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema discreto
y[n]=x[n-3]-2,x[n-8]
e pede para verificar as seguintes propriedades:
– linearidade (superposição e homogeneidade),
– causalidade (dependência só de instantes presentes e passados),
– invariância no tempo (shift invariante),
– memória (dependência de instantes diferentes de n),
– estabilidade BIBO (bounded-input bounded-output).

Passo 2

Para checar a linearidade, consideramos duas entradas x1[n] e x2[n] e escalares alpha,beta. Seja
y1[n]=x1[n-3]-2,x1[n-8], y2[n]=x2[n-3]-2,x2[n-8]
Se a entrada for alpha,x1[n]+beta,x2[n], a saída será
alpha,x1[n-3]+beta,x2[n-3] -2l(alpha,x1[n-8]+beta,x2[n-8]r) =alpha,y1[n]+beta,y2[n]
Logo, o sistema é linear.

Passo 3

Para verificar a causalidade, usamos a definição: o sistema é causal se, para cada n0, y[n0] depende apenas de x[k] com k<= n0. Aqui
y[n]=x[n-3]-2,x[n-8]
depende de x em n-3 e n-8, e ambos satisfazem n-3<= n e n-8<= n. Portanto, o sistema é causal.

Passo 4

Para checar invariância no tempo, substituímos x[n] por x[n-n0]. A saída se torna
y'[n]=x[n-n0-3]-2,x[n-n0-8],
que é exatamente y[n-n0]. Logo, o sistema é invariante no tempo.

Passo 5

Um sistema é sem memória se y[n] depende apenas de x[n]. Aqui há dependência de x[n-3] e x[n-8], ou seja, de instantes passados, então o sistema tem memória.

Passo 6

Para estabilidade BIBO, basta analisar a resposta ao impulso h[n]. Com x[n]=de<a[n], temos
h[n]=de<a[n-3]-2,de<a[n-8]
A soma dos valores absolutos é
sumk=-infty^inftyl|h[k]r| =|!1|+|!-2|=3<infty
Como sum|h[k]|<infty, o sistema é BIBO estável.

Resposta

Linearidade: sim
Causalidade: sim
Invariância no tempo: sim
Memória: tem memória
Estabilidade BIBO: estável

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