Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
Passo 1
O enunciado define um sistema discreto pela equação
.
Vamos analisar cinco propriedades clássicas de sistemas lineares: linearidade, causalidade, invariância no tempo, existência de memória (memoryless ou não) e estabilidade BIBO.
Vamos analisar cinco propriedades clássicas de sistemas lineares: linearidade, causalidade, invariância no tempo, existência de memória (memoryless ou não) e estabilidade BIBO.
Passo 2
Verificação da linearidade
Considere duas entradas e
com saídas correspondentes
e
.
Para escalares , a entrada combinada é
.
A saída do sistema a partir de é
Considere duas entradas
Para escalares
A saída do sistema a partir de
Logo, o sistema satisfaz superposição e homogeneidade, ou seja, é linear.
Passo 3
Verificação da causalidade
Um sistema é causal se depender apenas de valores de
para
. Aqui
depende somente de , ou seja, não usa valores futuros
com
. Portanto, o sistema é causal.
Um sistema é causal se
depende somente de
Passo 4
Verificação da invariância no tempo
Teste de atraso: para uma entrada atrasada , a saída do sistema é
Teste de atraso: para uma entrada atrasada
Mas se atrasássemos a saída original de
em
, obteríamos
e em geral
.
Portanto, não é invariante no tempo.
Portanto, não é invariante no tempo.
Passo 5
Verificação de memória
Um sistema é memoryless (sem memória) se depende somente de
no mesmo instante. Aqui
utiliza apenas
(multiplicado por
), sem referências a instantes diferentes. Logo, o sistema é sem memória.
Um sistema é memoryless (sem memória) se
Passo 6
Verificação da estabilidade BIBO
Se for limitada por
para todo
, então
Se
Como
cresce sem limite quando
,
pode ficar arbitrariamente grande mesmo que
seja finito. Logo, o sistema não é BIBO estável.
Resposta
O sistema
é
linear,
causal,
não invariante no tempo,
sem memória (memoryless)
e não BIBO estável.
linear,
causal,
não invariante no tempo,
sem memória (memoryless)
e não BIBO estável.