Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
y[n]=n^2 x[n]

Passo 1

O enunciado define um sistema discreto pela equação
y[n]=n^2,x[n].
Vamos analisar cinco propriedades clássicas de sistemas lineares: linearidade, causalidade, invariância no tempo, existência de memória (memoryless ou não) e estabilidade BIBO.

Passo 2

Verificação da linearidade
Considere duas entradas x1[n] e x2[n] com saídas correspondentes
y1[n]=n^2x1[n] e y2[n]=n^2x2[n].
Para escalares a,b, a entrada combinada é
x[n]=a,x1[n]+b,x2[n].
A saída do sistema a partir de x[n] é
y[n]=n^2l(a,x1[n]+b,x2[n]r) =a,n^2x1[n]+b,n^2x2[n] =a,y1[n]+b,y2[n]
Logo, o sistema satisfaz superposição e homogeneidade, ou seja, é linear.

Passo 3

Verificação da causalidade
Um sistema é causal se y[n] depender apenas de valores de x[k] para k<= n. Aqui
y[n]=n^2x[n]
depende somente de x[n], ou seja, não usa valores futuros x[n+k] com k>0. Portanto, o sistema é causal.

Passo 4

Verificação da invariância no tempo
Teste de atraso: para uma entrada atrasada xd[n]=x[n-n0], a saída do sistema é
yd[n] = n^2,x[n-n0]
Mas se atrasássemos a saída original de y[n] em n0, obteríamos
y[n-n0] = (n-n0)^2,x[n-n0],
e em geral
n^2neq(n-n0)^2.
Portanto, não é invariante no tempo.

Passo 5

Verificação de memória
Um sistema é memoryless (sem memória) se y[n] depende somente de x[n] no mesmo instante. Aqui
y[n] utiliza apenas x[n] (multiplicado por n^2), sem referências a instantes diferentes. Logo, o sistema é sem memória.

Passo 6

Verificação da estabilidade BIBO
Se x[n] for limitada por lvert x[n]rvert<= M para todo n, então
lvert y[n]rvert = lvert n^2,x[n]rvert <= M,n^2
Como n^2 cresce sem limite quando lvert nrverttoinfty, lvert y[n]rvert pode ficar arbitrariamente grande mesmo que M seja finito. Logo, o sistema não é BIBO estável.

Resposta

O sistema y[n]=n^2x[n] é
linear,
causal,
não invariante no tempo,
sem memória (memoryless)
e não BIBO estável.

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