Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
y[n]=sen(x[n])

Passo 1

O enunciado define o sistema discreto
y[n]=sinl(x[n]r)
e pede para avaliar as propriedades de linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória (memoryless) e BIBO estabilidade. Vamos usar as definições clássicas de sistemas lineares e invariantes, e verificar a dependência do instante e o comportamento frente a entradas limitadas.

Passo 2

Verificação de linearidade. Um sistema T é linear se, para quaisquer sinais x1[n], x2[n] e escalares a,b, valem
Ta,x1[n]+b,x2[n] = a,Tx1[n] + b,Tx2[n]
Aqui
Ta,x1[n]+b,x2[n] = sinl(a,x1[n]+b,x2[n]r)
que não se separa em asin(x1[n]) + bsin(x2[n]) em geral. Logo, o sistema é não linear.

Passo 3

Verificação de causalidade. Um sistema é causal se y[n] depende apenas de x[k] com k<= n. No nosso caso
y[n]=sinl(x[n]r)
depende somente do valor presente x[n] (e não de valores futuros x[n+k], k>0). Portanto, o sistema é causal.

Passo 4

Verificação de invariância no tempo. Seja uma entrada deslocada x'[n]=x[n-n0]. Então a saída correspondente é
y'[n]=sinl(x'[n]r) =sinl(x[n-n0]r) =y[n-n0]
Como o deslocamento de entrada produz o mesmo deslocamento na saída, o sistema é invariante no tempo.

Passo 5

Verificação de memória. Um sistema é sem memória (memoryless) se a saída em n depende apenas de x[n]. Aqui y[n] depende unicamente de x[n], sem referência a outros instantes. Logo, o sistema é sem memória (memoryless).

Passo 6

Verificação de BIBO estabilidade. Um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada, isto é lvert x[n]rvert<= Mx<infty, gera saída limitada lvert y[n]rvert<= My<infty. Como para todo zinR vale lvertsin(z)rvert<=1, temos
lvert y[n]rvert =llvertsin(x[n])rrvert <=1
Portanto, o sistema é BIBO estável.

Resposta

Linearidade: não linear
Causalidade: causal
Invariância no tempo: invariante
Memória: sem memória (memoryless)
BIBO estabilidade: estável

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