Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema discreto
e pede para avaliar as propriedades de linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Para isso, vamos usar as definições clássicas de sistemas lineares e análise de dependência de instantes de tempo, além do critério de entrada limitada–saída limitada.
Passo 2
Linearidade
Para checar linearidade, consideramos duas entradas e
com respectivas saídas
e
, e um escalar
. Como o sistema é definido por soma ponderada de
, temos
Para checar linearidade, consideramos duas entradas
e
Logo, o sistema satisfaz superposição e homogeneidade, ou seja, é linear.
Passo 3
Causalidade
Um sistema é causal se depende apenas de
para
. Aqui
Um sistema é causal se
depende de
(presente) e
(passado), mas não de
ou instantes futuros. Portanto, o sistema é causal.
Passo 4
Invariância no tempo
Testamos a propriedade: seja . A saída será
Testamos a propriedade: seja
Por outro lado, atrasar a saída original dá
Como em
os expoentes
ficam deslocados de modo diferente de em
, não há coincidência geral entre
e
. Logo, o sistema não é invariável no tempo.
Passo 5
Memória
Um sistema é sem memória (isto é, instantâneo) se depende somente de
. Aqui há dependência também de
, logo o sistema tem memória.
Um sistema é sem memória (isto é, instantâneo) se
Passo 6
BIBO estabilidade
Suponha que para todo
. Então
Suponha que
Como
para todo
, segue
, ou seja, saída limitada sempre que a entrada for limitada. Logo, o sistema é BIBO estável.
Resposta
- Linearidade: é linear.
- Causalidade: é causal.
- Invariância no tempo: não é invariante no tempo.
- Memória: tem memória.
- BIBO estabilidade: é estável (BIBO).