Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
y[n]=sumk=n-1^n 2^-k x[k]

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema discreto
y[n] ;=; sumk=n-1^n 2^-k,x[k]
e pede para avaliar as propriedades de linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade. Para isso, vamos usar as definições clássicas de sistemas lineares e análise de dependência de instantes de tempo, além do critério de entrada limitada–saída limitada.

Passo 2

Linearidade
Para checar linearidade, consideramos duas entradas x1[n] e x2[n] com respectivas saídas y1[n] e y2[n], e um escalar alpha. Como o sistema é definido por soma ponderada de x[k], temos
Sx1[n]+x2[n] =sumk=n-1^n2^-kl(x1[k]+x2[k]r) =sumk=n-1^n2^-kx1[k] +sumk=n-1^n2^-kx2[k] =y1[n]+y2[n],
e
Salpha,x1[n] =sumk=n-1^n2^-k,l(alpha,x1[k]r) =alphasumk=n-1^n2^-kx1[k] =alpha,y1[n]
Logo, o sistema satisfaz superposição e homogeneidade, ou seja, é linear.

Passo 3

Causalidade
Um sistema é causal se y[n] depende apenas de x[k] para k<= n. Aqui
y[n] =2^-(n-1),x[n-1]+2^-n,x[n],
depende de x[n] (presente) e x[n-1] (passado), mas não de x[n+1] ou instantes futuros. Portanto, o sistema é causal.

Passo 4

Invariância no tempo
Testamos a propriedade: seja x'[n]=x[n-n0]. A saída será
y'[n] =sumk=n-1^n2^-k,x[k-n0]
Por outro lado, atrasar a saída original dá
y[n-n0] =sumk=n-n0-1^,n-n02^-k,x[k]
Como em y'[n] os expoentes 2^-k ficam deslocados de modo diferente de em y[n-n0], não há coincidência geral entre y'[n] e y[n-n0]. Logo, o sistema não é invariável no tempo.

Passo 5

Memória
Um sistema é sem memória (isto é, instantâneo) se y[n] depende somente de x[n]. Aqui há dependência também de x[n-1], logo o sistema tem memória.

Passo 6

BIBO estabilidade
Suponha que lvert x[k]rvert <= M para todo k. Então
lvert y[n]rvert <= sumk=n-1^n2^-k,lvert x[k]rvert <= Msumk=n-1^n2^-k =Ml(2^-(n-1)+2^-nr) =Mcdot3cdot2^-n
Como 3cdot2^-n<= 3 para todo n, segue lvert y[n]rvert<= 3M, ou seja, saída limitada sempre que a entrada for limitada. Logo, o sistema é BIBO estável.

Resposta

  • Linearidade: é linear.
  • Causalidade: é causal.
  • Invariância no tempo: não é invariante no tempo.
  • Memória: tem memória.
  • BIBO estabilidade: é estável (BIBO).

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