Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
y(t)=e^-|t| x(t)

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema
y(t)=e^-|t|,x(t)
quanto a linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e estabilidade BIBO. Para isso, vamos usar definições básicas: superposição para linearidade, dependência de valores passados/futuros de x(t) para causalidade e memória, teste de deslocamento para invariância no tempo, e comportamento diante de entrada limitada para BIBO.

Passo 2

Para verificar linearidade, considere duas entradas x1(t) e x2(t) com saídas y1(t)=e^-|t|x1(t) e y2(t)=e^-|t|x2(t). Se formos dar entrada a,x1(t)+b,x2(t), a saída será
y(t)=e^-|t|l(a,x1(t)+b,x2(t)r) =a,e^-|t|x1(t)+b,e^-|t|x2(t) =a,y1(t)+b,y2(t)
Isso mostra que o sistema satisfaz superposição e homogeneidade, logo é linear.

Passo 3

Para causalidade, verificamos se y(t) em um instante t0 depende apenas de x(tau)colon tau<= t0. Aqui
y(t0)=e^-|t0|,x(t0),
depende somente de x no mesmo instante t0. Não há dependência de valores futuros de x, logo o sistema é causal.

Passo 4

Para testar invariância no tempo, aplicamos um deslocamento t0. A entrada deslocada é xrm d(t)=x(t-t0) e a saída correspondente seria
yrm d(t)=e^-|t|,x(t-t0)
Por outro lado, deslocar a saída original dá
y(t-t0)=e^-|t-t0|,x(t-t0)
Como e^-|t|neq e^-|t-t0| em geral, temos yrm d(t)neq y(t-t0), ou seja, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 5

Memória significa dependência de valores passados ou futuros de x. Aqui y(t)=e^-|t|x(t) usa apenas o valor instantâneo x(t), sem qualquer histórico. Portanto, o sistema é sem memória (memoryless).

Passo 6

Para estabilidade BIBO, suponha que lvert x(t)rvert<= Bx<infty para todo t. Então
lvert y(t)rvert =l|e^-|t|x(t)r| =e^-|t|,lvert x(t)rvert <= e^-|t|,Bx <= Bx,
pois 0<e^-|t|<=1. Logo y(t) é limitada e o sistema é BIBO estável.

Resposta

O sistema
y(t)=e^-|t|x(t)
é
É linear.
É causal.
Não é invariante no tempo.
É sem memória (memoryless).
É BIBO estável.

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