Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
y(t)=integral-infty^+infty tau u(tau) x(t-tau) d tau

Passo 1

O enunciado define o sistema
y(t)=integral-infty^+inftytau,u(tau),x(t-tau),dtau
ou seja, é um processo de convolução entre x(t) e o “impulso-resposta”
h(tau)=tau,u(tau)
O conteúdo é análise de sistemas (linearidade, causalidade, invariância temporal, memória e estabilidade BIBO). Para resolver, vamos usar definições clássicas: superposição para linearidade, suporte de h para causalidade, teste de atraso para invariância, dependência de instantes diferentes para memória, e norma L^1 de h para estabilidade BIBO.

Passo 2

Linearidade: se x1mapsto y1 e x2mapsto y2, então para sinais escalares a,b temos
y(t)=integral tau,u(tau)l[a,x1(t-tau)+b,x2(t-tau)r]dtau =aintegral tau,u(tau)x1(t-tau)dtau +bintegral tau,u(tau)x2(t-tau)dtau =a,y1(t)+b,y2(t)
Logo o sistema é linear.

Passo 3

Causalidade: o sistema é causal se y(t) só depende de x(t') com t'<= t. Como u(tau) anula todo tau<0, o integral efetivo é de tau=0 a +infty, isto é
y(t)=integral0^inftytau,x(t-tau),dtau,
e t-tau<= t. Não usamos valores futuros de x, logo é causal.

Passo 4

Invariância no tempo: seja um retardo t0. Substituindo x(t-t0) como entrada, a saída é
yret(t) =integral0^inftytau,xl((t-tau)-t0r)dtau =;y(t-t0)
Como o atraso na entrada gera o mesmo atraso na saída, o sistema é invariante no tempo.

Passo 5

Memória: um sistema é sem memória se y(t) depende apenas de x(t). Aqui há convolução sobre tauin(0,infty), então y(t) depende de valores passados x(t-tau) com tau>0. Logo o sistema possui memória.

Passo 6

Estabilidade BIBO: para BIBO precisamos integral-infty^infty|h(tau)|,dtau<infty. Como
integral-infty^infty|tau,u(tau)|,dtau =integral0^inftytau,dtau =+infty,
o sistema não é BIBO estável.

Resposta

Linear: sim
Causal: sim
Invariante no tempo: sim
Memória: sim
BIBO estável: não

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