Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
Passo 1
O enunciado define o sistema
ou seja, é um processo de convolução entre
e o “impulso-resposta”
O conteúdo é análise de sistemas (linearidade, causalidade, invariância temporal, memória e estabilidade BIBO). Para resolver, vamos usar definições clássicas: superposição para linearidade, suporte de
para causalidade, teste de atraso para invariância, dependência de instantes diferentes para memória, e norma
de
para estabilidade BIBO.
Passo 2
Linearidade: se
e
, então para sinais escalares
temos
Logo o sistema é linear.
Passo 3
Causalidade: o sistema é causal se
só depende de
com
. Como
anula todo
, o integral efetivo é de
a
, isto é
e
. Não usamos valores futuros de
, logo é causal.
Passo 4
Invariância no tempo: seja um retardo
. Substituindo
como entrada, a saída é
Como o atraso na entrada gera o mesmo atraso na saída, o sistema é invariante no tempo.
Passo 5
Memória: um sistema é sem memória se
depende apenas de
. Aqui há convolução sobre
, então
depende de valores passados
com
. Logo o sistema possui memória.
Passo 6
Estabilidade BIBO: para BIBO precisamos
. Como
o sistema não é BIBO estável.
Resposta
Linear: sim
Causal: sim
Invariante no tempo: sim
Memória: sim
BIBO estável: não
Causal: sim
Invariante no tempo: sim
Memória: sim
BIBO estável: não