Considere o sistema descrito por
y[n]=sumk=-infty^+infty x[k] e^-n+k u[n-k]
a) O sistemas é causal?
b) O sistema é BIBO estável?
Dica: Calcule a resposta ao impulso do sistema.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema discreto
y[n]=sumk=-infty^+inftyx[k],e^-,n+k,u[n-k]
e pede para verificar se ele é causal e se é BIBO estável. Vamos usar o conceito de resposta ao impulso h[n], obtida aplicando x[n]=de<a[n].

Passo 2

Substituindo x[k]=de<a[k] na expressão de y[n], temos
h[n]=y[n]|x[k]=de<a[k] =sumk=-infty^+inftyde<a[k],e^-,n+k,u[n-k]
Como de<a[k] anula todos os termos exceto em k=0,
h[n]=e^-,n+0,u[n-0]=e^-,n,u[n]

Passo 3

Para verificar causalidade, lembramos que um sistema é causal se e somente se
h[n]=0para;n<0
Como ,u[n]=0 para n<0, segue que
h[n]=e^-,n,u[n]=0para;n<0
Logo, o sistema é causal.

Passo 4

Para BIBO estabilidade, precisamos checar se
sumn=-infty^inftyl|h[n]r|<infty
Aqui
sumn=-infty^inftyl|h[n]r| =sumn=0^inftye^-,n =11-e^-1,
que é finito. Portanto o sistema é BIBO estável.

Resposta

a) O sistema é causal.
b) O sistema é BIBO estável.

Exercícios relacionados