Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a transformada de Fourier do sinal $ y(t) = \operatorname{rect}(t-3) + \operatorname{rect}(t+3)
\operatorname{rect}$) e como aplicar propriedades da transformada, como o deslocamento no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é a função retangular. A função
é igual a 1 quando
e 0 caso contrário. Quando temos
, significa que a função é deslocada no tempo para a direita por
unidades.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a Transformada de Fourier da função
. A transformada é dada por:
onde
.
Passo 4
Precisamos considerar o efeito do deslocamento no tempo na transformada. A propriedade de deslocamento afirma que:
Isso significa que deslocar a função no tempo multiplica a transformada pela exponencial complexa $ e^{-j 2\pi f a} $.
Passo 5
Aplicando essa propriedade aos dois termos do sinal $ y(t) $:
Passo 6
Simplificando as exponenciais:
Portanto, temos:
Passo 7
Reconhecemos que $ e^{-j \theta} + e^{j \theta} = 2 \cos(\theta) $. Aplicando isso:
Resposta
A transformada de Fourier do sinal $ y(t) = \operatorname{rect}(t-3) + \operatorname{rect}(t+3) $ é: