Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
y(t)=rect(t-3)+rect(t+3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a transformada de Fourier do sinal $ y(t) = \operatorname{rect}(t-3) + \operatorname{rect}(t+3) y(t) = rect(t-3) + rect(t+3) éáííêçã\operatorname{rect}$) e como aplicar propriedades da transformada, como o deslocamento no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é a função retangular. A função rect(t) é igual a 1 quando |t| <= 12 e 0 caso contrário. Quando temos rect(t - a), significa que a função é deslocada no tempo para a direita por a unidades.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a Transformada de Fourier da função rect(t). A transformada é dada por:
Frect(t) = sinc(f)
onde sinc(f) = sin(pi f)pi f.

Passo 4

Precisamos considerar o efeito do deslocamento no tempo na transformada. A propriedade de deslocamento afirma que:
Frect(t - a) = sinc(f) cdot e^-j 2pi f a
Isso significa que deslocar a função no tempo multiplica a transformada pela exponencial complexa $ e^{-j 2\pi f a} $.

Passo 5

Aplicando essa propriedade aos dois termos do sinal $ y(t) $:
y(t)
Fy(t) = Frect(t-3) + Frect(t+3)

Passo 6

Simplificando as exponenciais:
e^-j 2pi f cdot (-3) = e^j 2pi f cdot 3
Portanto, temos:
Fy(t) = sinc(f) ( e^-j 6pi f + e^j 6pi f )

Passo 7

Reconhecemos que $ e^{-j \theta} + e^{j \theta} = 2 \cos(\theta) $. Aplicando isso:
e^-j theta + e^j theta = 2 cos(theta)
Fy(t) = sinc(f) cdot 2 cos(6pi f)

Resposta

A transformada de Fourier do sinal $ y(t) = \operatorname{rect}(t-3) + \operatorname{rect}(t+3) $ é:
y(t) = rect(t-3) + rect(t+3)

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