2- Seja
, e se
são funções reais, provar que V é um espaço vetorial sobre R .
Passo 1
O enunciado define
onde as operações são as usuais de soma e multiplicação por escalar de funções reais.
Queremos mostrar que é um espaço vetorial sobre
.
O conteúdo que vamos usar é o critério de subespaço de um espaço vetorial: basta verificar que não é vazio e está fechado sob soma e multiplicação escalar, pois ele herda dos reais (ou do espaço de todas as funções de
em
) todas as outras propriedades (associatividade, comutatividade, existência de inverso etc.).
Queremos mostrar que
O conteúdo que vamos usar é o critério de subespaço de um espaço vetorial: basta verificar que
Passo 2
Mostramos que
não está vazio exhibindo o elemento neutro (função zero).
Tomando e
, a combinação
Tomando
é a função identicamente nula, logo
.
Passo 3
Verificamos a fechamento de
sob adição.
Sejam
Sejam
com
. Então
e
e
são reais. Assim
.
Passo 4
Verificamos o fechamento de
sob multiplicação por escalar.
Seja e
. Então
Seja
e
, logo
.
Resposta
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço do espaço de todas as funções reais em
. Portanto,
é um espaço vetorial sobre
.