2- Seja V=lambda x+beta e^x / lambda, beta in R, e se f(x)=x, g(x)=e^x são funções reais, provar que V é um espaço vetorial sobre R .

Passo 1

O enunciado define
V = lambda x + beta e^x mid lambda,beta in R
onde as operações são as usuais de soma e multiplicação por escalar de funções reais.
Queremos mostrar que V é um espaço vetorial sobre R.
O conteúdo que vamos usar é o critério de subespaço de um espaço vetorial: basta verificar que V não é vazio e está fechado sob soma e multiplicação escalar, pois ele herda dos reais (ou do espaço de todas as funções de R em R) todas as outras propriedades (associatividade, comutatividade, existência de inverso etc.).

Passo 2

Mostramos que V não está vazio exhibindo o elemento neutro (função zero).
Tomando lambda=0 e beta=0, a combinação
0cdot x + 0cdot e^x = 0
é a função identicamente nula, logo 0 in V.

Passo 3

Verificamos a fechamento de V sob adição.
Sejam
u(x) = lambda1 x + beta1 e^x, v(x) = lambda2 x + beta2 e^x,
com lambda1,beta1,lambda2,beta2 in R. Então
(u+v)(x) = (lambda1 x + beta1 e^x) + (lambda2 x + beta2 e^x) = (lambda1 + lambda2),x + (beta1 + beta2),e^x,
e lambda1 + lambda2 e beta1 + beta2 são reais. Assim u+vin V.

Passo 4

Verificamos o fechamento de V sob multiplicação por escalar.
Seja cinR e u(x)=lambda x + beta e^xin V. Então
(c,u)(x) = cl(lambda x + beta e^xr) = (clambda),x + (cbeta),e^x,
e clambda,,cbetainR, logo c,uin V.

Resposta

Como V contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que V é um subespaço do espaço de todas as funções reais em R. Portanto, V é um espaço vetorial sobre R.

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