3- Provar que V=(x, y, z) in R^3 /-2 x+3 y-z=0 é um espaço vetorial do R^3.

Passo 1

O enunciado define
V = (x,y,z)in R^3 mid -2x + 3y - z = 0,
e pede para mostrar que V é um espaço vetorial (subespaço) de R^3.
Para isso vamos usar o critério de subespaço:
  1. O vetor zero de R^3 pertence a V.
  2. Se u,vin V então u+vin V.
  3. Se uin V e alphainR então alpha uin V.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0) satisfaz a equação de V:
-2cdot 0 + 3cdot 0 - 0 = 0
Logo (0,0,0)in V.

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) dois vetores em V.
Como u,vin V, temos
-2x1 + 3y1 - z1 = 0 e -2x2 + 3y2 - z2 = 0
Então, para a soma u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
-2(x1+x2) + 3(y1+y2) - (z1+z2) = l(-2x1+3y1-z1r) + l(-2x2+3y2-z2r) = 0 + 0 = 0
Isso mostra que u+vin V.

Passo 4

Seja u=(x1,y1,z1)in V e alphainR.
Como -2x1+3y1-z1=0, para o vetor alpha u = (alpha x1,alpha y1,alpha z1) calculamos
-2(alpha x1) + 3(alpha y1) - (alpha z1) = alphal(-2x1+3y1-z1r) = alphacdot 0 = 0
Assim alpha uin V.

Resposta

Como V contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que V é um subespaço vetorial de R^3, ou seja, um espaço vetorial.

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