Averiguar se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
e precisamos descobrir se ele é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial: ele deve conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição de vetores e ser fechado em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
O primeiro critério para ser um subespaço vetorial é que o conjunto contenha o vetor zero. O vetor zero em
é
. Vamos verificar se
pertence a
:
Mas no conjunto
, a soma
deve ser igual a 1. Como 0 não é igual a 1, o vetor zero não está em
. Isso já nos dá uma indicação importante.
Passo 3
Mesmo que já tenhamos encontrado que o vetor zero não está em
, vamos verificar os outros critérios para entender completamente. O segundo critério é que, se você pegar dois vetores quaisquer de
, a soma deles também deve estar em
.
Suponha que temos dois vetores
e
em
, então:
A soma desses vetores seria
. Vamos verificar se essa soma está em
:
Como 2 não é igual a 1, a soma não está em
.
Passo 4
O terceiro critério é verificar a multiplicação por um escalar. Se tomarmos um vetor qualquer
em
e um escalar
, então o vetor
também deve estar em
.
Vamos verificar:
Para que
esteja em
, a soma
deve ser igual a 1. Isso só acontece se
, o que não é verdade para todos os escalares
. Portanto,
não é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial.