Averiguar se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais:
V=(x, y) in R^2 / x+y=1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto V = (x, y) in R^2 mid x + y = 1 e precisamos descobrir se ele é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial: ele deve conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição de vetores e ser fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

O primeiro critério para ser um subespaço vetorial é que o conjunto contenha o vetor zero. O vetor zero em R^2 é (0, 0). Vamos verificar se (0, 0) pertence a V :
x + y = 0 + 0 = 0
Mas no conjunto V , a soma x + y deve ser igual a 1. Como 0 não é igual a 1, o vetor zero não está em V . Isso já nos dá uma indicação importante.

Passo 3

Mesmo que já tenhamos encontrado que o vetor zero não está em V , vamos verificar os outros critérios para entender completamente. O segundo critério é que, se você pegar dois vetores quaisquer de V , a soma deles também deve estar em V .
Suponha que temos dois vetores (x1, y1) e (x2, y2) em V , então:
x1 + y1 = 1
x2 + y2 = 1
A soma desses vetores seria (x1 + x2, y1 + y2) . Vamos verificar se essa soma está em V :
(x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) + (x2 + y2) = 1 + 1 = 2
Como 2 não é igual a 1, a soma não está em V .

Passo 4

O terceiro critério é verificar a multiplicação por um escalar. Se tomarmos um vetor qualquer (x, y) em V e um escalar c , então o vetor (c x, c y) também deve estar em V .
Vamos verificar:
c x + c y = c(x + y) = c cdot 1 = c
Para que (c x, c y) esteja em V , a soma c x + c y deve ser igual a 1. Isso só acontece se c = 1 , o que não é verdade para todos os escalares c . Portanto, V não é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto V = (x, y) in R^2 mid x + y = 1 não é um subespaço vetorial.

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