Sejam a e b tais que v=(-4,2,3) e w=(a, b, 2) sejam paralelos. Calcule 12(b-a). Dica: a resposta é um número inteiro.

Passo 1

Vamos lá! O problema fala sobre dois vetores: v=(-4,2,3) e w=(a, b, 2) que são paralelos. Nosso objetivo é encontrar os valores de a e b e, depois, calcular 12(b - a). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem paralelos.

Passo 2

Quando dois vetores são paralelos, significa que um deles é um múltiplo do outro. Em outras palavras, existe um número k tal que w = k cdot v. Vamos usar isso para relacionar os componentes dos vetores.

Passo 3

Escrevendo a relação w = k cdot v componente por componente, temos:
(a, b, 2) = k cdot (-4, 2, 3)
Isso nos dá três equações:
a = k cdot (-4)
b = k cdot 2
2 = k cdot 3

Passo 4

Vamos resolver a terceira equação para encontrar o valor de k:
2 = 3k implies k = 23

Passo 5

Agora que sabemos que k = 23, vamos encontrar a e b usando as duas primeiras equações:
a = -4k = -4 cdot 23 = -83
b = 2k = 2 cdot 23 = 43

Passo 6

Com os valores de a e b encontrados, agora calculamos b - a:
b - a = 43 - (-83) = 43 + 83 = 123 = 4

Passo 7

Finalmente, multiplicamos o resultado por 12:
12(b - a) = 12 cdot 4 = 48

Resposta

48

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