Averiguar se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais:
Analizar se w é um subespaço vetorial do R^3 em cada um dos seguintes conjuntos:
W=(x, y, z) in R^3 / x y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W=(x,y,z)inR^3mid x,y=0
é um subespaço vetorial de R^3. Para isso, vamos checar os três critérios usuais:
  1. O vetor zero pertence a W.
  2. W é fechado sob multiplicação por escalar.
  3. W é fechado sob adição de vetores.

Passo 2

Verificamos o vetor zero (0,0,0).
Como 0cdot0=0, temos (0,0,0)in W.
Logo, o primeiro critério está satisfeito.

Passo 3

Tomemos um vetor arbitrário (x,y,z)in W e um escalar lambdainR.
Então (x,y,z)in W implica x,y=0.
No vetor lambda(x,y,z)=(lambda x,lambda y,lambda z) o produto das duas primeiras componentes é
(lambda x),(lambda y) =lambda^2,(x,y) =lambda^2cdot0 =0,
logo lambda(x,y,z)in W.
Portanto, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Para a adição, escolhemos dois vetores em W que vão gerar um contraexemplo.
Sejam
u=(1,0,0)e v=(0,1,0)
Ambos satisfazem a condição x,y=0, pois 1cdot0=0 e 0cdot1=0.
Mas
u+v=(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)
e nesse vetor (1,1,0) temos
1cdot1=1neq0,
ou seja, u+vnotin W.

Passo 5

Como W não é fechado sob adição (falha o critério 3), concluímos que W não é um subespaço vetorial de R^3.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^3.

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