Averiguar se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais:
Analizar se w é um subespaço vetorial do
em cada um dos seguintes conjuntos:
Analizar se w é um subespaço vetorial do
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos checar os três critérios usuais:
- O vetor zero pertence a
. -
é fechado sob multiplicação por escalar. -
é fechado sob adição de vetores.
Passo 2
Verificamos o vetor zero
.
Como , temos
.
Logo, o primeiro critério está satisfeito.
Como
Logo, o primeiro critério está satisfeito.
Passo 3
Tomemos um vetor arbitrário
e um escalar
.
Então implica
.
No vetor o produto das duas primeiras componentes é
Então
No vetor
logo
.
Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Portanto,
Passo 4
Para a adição, escolhemos dois vetores em
que vão gerar um contraexemplo.
Sejam
Sejam
Ambos satisfazem a condição
, pois
e
.
Mas
Mas
e nesse vetor
temos
ou seja,
.
Passo 5
Como
não é fechado sob adição (falha o critério 3), concluímos que
não é um subespaço vetorial de
.