Sejam V=M2 x 2(R) espaço vetorial de matrizes quadradas sobre R e sejam W1=[ai j] in M2 x 2(R) / a11+a21=0 e W2=[ai j] in M2 x 2(R) / a12+a22=0. Demonstrar que W1 e W2 são subespaços de W.

Passo 1

O espaço vetorial é V = M2times2(R). Definimos
W1 = lA=[aij]in V mid a11+a21=0r, W2 = lA=[aij]in V mid a12+a22=0r
Para provar que cada Wi é subespaço de V, basta mostrar que (i) contêm a matriz zero, (ii) são fechados sob soma e (iii) são fechados sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Demonstração para W1:
  1. A matriz zero O satisfaz 0+0=0, logo Oin W1.
  2. Fechamento sob soma: sejam A,Bin W1 com
A = [aij], a11+a21=0, B = [bij], b11+b21=0
Então em A+B temos
(A+B)11 + (A+B)21 = (a11+b11) + (a21+b21) = (a11+a21) + (b11+b21) = 0 + 0 = 0,
logo A+Bin W1.
3. Fechamento sob escalar: seja lambdainR e Ain W1. Então
(lambda A)11+(lambda A)21 = lambda a11 + lambda a21 = lambda,(a11+a21) = lambdacdot0 = 0,
então lambda Ain W1. Assim, W1 é subespaço de V.

Passo 3

Demonstração para W2:
  1. A matriz zero O satisfaz 0+0=0, logo Oin W2.
  2. Fechamento sob soma: sejam A,Bin W2 com
A = [aij], a12+a22=0, B = [bij], b12+b22=0
Então em A+B temos
(A+B)12 + (A+B)22 = (a12+b12) + (a22+b22) = (a12+a22) + (b12+b22) = 0 + 0 = 0,
logo A+Bin W2.
3. Fechamento sob escalar: seja lambdainR e Ain W2. Então
(lambda A)12+(lambda A)22 = lambda a12 + lambda a22 = lambda,(a12+a22) = lambdacdot0 = 0,
então lambda Ain W2. Assim, W2 é subespaço de V.

Resposta

W1 e W2 são subespaços de M2times2(R).

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