Sejam
espaço vetorial de matrizes quadradas sobre
e sejam
e
. Demonstrar que
são subespaços de W.
Passo 1
O espaço vetorial é
. Definimos
Para provar que cada
é subespaço de
, basta mostrar que (i) contêm a matriz zero, (ii) são fechados sob soma e (iii) são fechados sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Demonstração para
:
- A matriz zero
satisfaz , logo . - Fechamento sob soma: sejam
com
Então em
temos
logo
.
3. Fechamento sob escalar: seja e
. Então
3. Fechamento sob escalar: seja
então
. Assim,
é subespaço de
.
Passo 3
Demonstração para
:
- A matriz zero
satisfaz , logo . - Fechamento sob soma: sejam
com
Então em
temos
logo
.
3. Fechamento sob escalar: seja e
. Então
3. Fechamento sob escalar: seja
então
. Assim,
é subespaço de
.