Averiguar se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais:
Analizar se w é um subespaço vetorial do R^3 em cada um dos seguintes conjuntos:
W=(x, y, z) in R^3 / k1 x+k2 y+k3 z=0

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
W = (x,y,z)in R^3 mid k1x + k2y + k3z = 0
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de R^3. Para isso vamos usar a definição de subespaço: (i) W não é vazio (contém o vetor zero), (ii) W é fechado sob soma e (iii) W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0) pertence a W, pois
k1cdot 0 + k2cdot 0 + k3cdot 0 = 0

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam
u=(x1,y1,z1)in W e v=(x2,y2,z2)in W.
Como k1x1+k2y1+k3z1=0 e k1x2+k2y2+k3z2=0, então
k1(x1+x2)+k2(y1+y2)+k3(z1+z2) =(k1x1+k2y1+k3z1)+(k1x2+k2y2+k3z2) =0+0 =0,
logo u+vin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja alphainR e u=(x,y,z)in W.
Como k1x+k2y+k3z=0, temos
k1(alpha x)+k2(alpha y)+k3(alpha z) =alpha,(k1x+k2y+k3z) =alphacdot 0 =0,
logo alpha uin W.

Resposta

W é de fato um subespaço vetorial de R^3.

Exercícios relacionados