Exercício: Os vetores
e
formam uma base canônica do espaço vetorial
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
em
e pede para mostrar que eles formam a base canônica de
. Para isso usamos a definição de base: um conjunto de vetores é base se (i) é linearmente independente e (ii) gera todo o espaço.
Passo 2
Verificamos a independência linear. Suponha
Isso é
logo
e
. Só existe a combinação trivial, então
é linearmente independente.
Passo 3
Verificamos que geram
. Seja
um vetor qualquer de
. Podemos escrever
Assim todo vetor de
é combinação linear de
e
, ou seja,
.
Passo 4
Como
é linearmente independente e gera
, concluímos que é uma base de
. Por ser exatamente os vetores padrão, esta base é chamada de base canônica.
Resposta
Sim,
e
formam a base canônica de
.