Exercício: Os vetores v 1=(1,0) e v 2 =(0,1) formam uma base canônica do espaço vetorial V=R^2.

Passo 1

O enunciado dá os vetores v1=(1,0) e v2=(0,1) em R^2 e pede para mostrar que eles formam a base canônica de R^2. Para isso usamos a definição de base: um conjunto de vetores é base se (i) é linearmente independente e (ii) gera todo o espaço.

Passo 2

Verificamos a independência linear. Suponha
a,v1 + b,v2 = (0,0)
Isso é
a(1,0) + b(0,1) = (a,b) = (0,0),
logo a=0 e b=0. Só existe a combinação trivial, então v1,v2 é linearmente independente.

Passo 3

Verificamos que geram R^2. Seja (x,y) um vetor qualquer de R^2. Podemos escrever
(x,y) = x,(1,0) + y,(0,1) = x,v1 + y,v2
Assim todo vetor de R^2 é combinação linear de v1 e v2, ou seja, spanv1,v2=R^2.

Passo 4

Como v1,v2 é linearmente independente e gera R^2, concluímos que é uma base de R^2. Por ser exatamente os vetores padrão, esta base é chamada de base canônica.

Resposta

Sim, v1 e v2 formam a base canônica de R^2.

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