Quando que um Conjunto V não será subespaço?
Basta apenas um axioma não ser satisfeito para que o conjunto V NÃO SEJA um espaço vetorial

Passo 1

O enunciado pergunta em que situação um subconjunto V de um espaço vetorial W não é um subespaço. Vamos revisar o que faz de V um subespaço e, a partir daí, entender quando ele deixa de sê-lo.

Passo 2

Por definição, V é subespaço de W se, e somente se, os seguintes pontos forem satisfeitos (os demais axiomas de espaço vetorial vêm “de graça” por herança de W):
  1. V não é vazio (equivalente a conter o vetor zero de W).
  2. V é fechado sob adição: para todo u,vin V tem-se u+vin V.
  3. V é fechado sob multiplicação escalar: para todo escalar alpha e todo vin V tem-se alpha vin V.

Passo 3

Se qualquer desses três requisitos falhar, então V deixa de ser subespaço. Em outras palavras, basta encontrar um dos seguintes contraexemplos:
  • V não contém o vetor zero de W.
  • Existem u,vin V tais que u+vnotin V.
  • Existe escalar alpha e vin V tais que alpha vnotin V.

Passo 4

Por que só um axioma basta? Porque a definição exige todas as condições. Se uma delas não ocorre, V não satisfaz completamente a estrutura de espaço vetorial, logo não é subespaço.

Resposta

Basta um único dos axiomas (não conter o zero, não ser fechado em soma ou não ser fechado em escalares) deixar de valer para que V não seja um subespaço de W.

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