Quando que um Conjunto V não será subespaço?
Basta apenas um axioma não ser satisfeito para que o conjunto V NÃO SEJA um espaço vetorial
Basta apenas um axioma não ser satisfeito para que o conjunto V NÃO SEJA um espaço vetorial
Passo 1
O enunciado pergunta em que situação um subconjunto
de um espaço vetorial
não é um subespaço. Vamos revisar o que faz de
um subespaço e, a partir daí, entender quando ele deixa de sê-lo.
Passo 2
Por definição,
é subespaço de
se, e somente se, os seguintes pontos forem satisfeitos (os demais axiomas de espaço vetorial vêm “de graça” por herança de
):
-
não é vazio (equivalente a conter o vetor zero de ). -
é fechado sob adição: para todo tem-se . -
é fechado sob multiplicação escalar: para todo escalar e todo tem-se .
Passo 3
Se qualquer desses três requisitos falhar, então
deixa de ser subespaço. Em outras palavras, basta encontrar um dos seguintes contraexemplos:
-
não contém o vetor zero de . - Existem
tais que . - Existe escalar
e tais que .
Passo 4
Por que só um axioma basta? Porque a definição exige todas as condições. Se uma delas não ocorre,
não satisfaz completamente a estrutura de espaço vetorial, logo não é subespaço.
Resposta
Basta um único dos axiomas (não conter o zero, não ser fechado em soma ou não ser fechado em escalares) deixar de valer para que
não seja um subespaço de
.