Um avião deseja seguir para o norte a 270 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, mas há vento de 70 \mathrm{~km} / \mathrm{h} de oeste para leste.
a) Determine o ângulo de correção de rota.
b) Calcule a velocidade resultante em relação ao solo.
c) Explique a importância do vetor velocidade relativa neste contexto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
  • Dados:
    • Velocidade do avião em relação ao ar (velocidade do avião “no ar”): 270\\ \mathrm{km/h}.
    • Vento de oeste para leste com velocidade 70\\ \mathrm{km/h} (ou seja, o vento empurra para leste).
  • Perguntas:
    a) Qual o ângulo de correção de rota que o piloto deve aplicar (isto é, quanto deve apontar para o oeste do norte) para que a trajetória sobre o solo fique dirigida para o norte?
    b) Qual a velocidade resultante em relação ao solo (a velocidade efetiva sobre o solo)?
    c) Explique a importância do vetor velocidade relativa neste contexto.

Passo 2

Vamos organizar as ideias com vetores e escolher um sistema de coordenadas simples.
  • Tome o eixo y apontando para o norte e o eixo x apontando para o leste. Assim, “oeste” é direção negativa em x.
  • Denote:
    • \vec v_{PA} = velocidade do avião relativa ao ar (magnitude 270\\ \mathrm{km/h}, direção que o piloto aponta).
    • \vec v_{AG} = velocidade do ar (vento) relativa ao solo (aqui 70\\ \mathrm{km/h} para leste, ou seja, componente em x positiva).
    • \vec v_{PG} = velocidade do avião relativa ao solo (resultado que o navegador quer que seja apontando para o norte).
  • A relação vetorial básica é a soma de velocidades relativas:
\vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}.
Expliquei as letras: P = plane (avião), A = air (ar), G = ground (solo). Isso quer dizer: velocidade do avião em relação ao solo = velocidade do avião em relação ao ar + velocidade do ar em relação ao solo.

Passo 3

Queremos que a trajetória sobre o solo seja exatamente para o norte. Em termos de componentes, isso significa que a componente em x (leste-oeste) de \vec v_{PG} deve ser zero.
  • Escrevemos componentes dos vetores:
    • Para \vec v_{PA}: supondo que o piloto aponta um ângulo \theta para o oeste do norte, a decomposição é
\text{componente em }x:\quad v_{PA,x} = -270\sin(\theta)
(o sinal negativo porque é para o oeste),
\text{componente em }y:\quad v_{PA,y} = 270\cos(\theta).
  • Para \vec v_{AG} (vento leste): v_{AG,x}=+70, v_{AG,y}=0.
  • Para \vec v_{PG} (queremos somente norte): v_{PG,x}=0, v_{PG,y}= (alguma velocidade norte resultante).
  • A condição v_{PG,x}=0 dá:
v_{PA,x}+v_{AG,x}=0.

Passo 4

Substituindo os valores na condição de cancelamento da componente x:
-270\sin(\theta) + 70 = 0.
Isto significa que a componente oeste do avião deve cancelar exatamente os 70\\ \mathrm{km/h} do vento leste. Agora isolamos \sin(\theta):
270\sin(\theta)=70,
\sin(\theta)=\frac{70}{270}=\frac{7}{27}.
Aqui expliquei: \sin(\theta) é a razão entre a componente leste-oeste do vetor do avião e sua velocidade total relativa ao ar; por isso usamos seno.

Passo 5

Calculamos o ângulo \theta:
\theta=\arcsin\!\left(\frac{7}{27}\right).
Fazendo a conta numérica (aproximação comum com calculadora ou tábuas trigonométricas):
\theta \approx 15{,}03^\circ.
Interpretação: o piloto deve apontar cerca de 15{,}03^\circ para o oeste do norte para compensar o vento leste.

Passo 6

Agora achamos a velocidade resultante em relação ao solo (módulo de \vec v_{PG}). Como escolhemos \theta para anular a componente x, a componente norte do vetor resultante é simplesmente a componente norte da velocidade do avião relativa ao ar:
v_{PG,y}=v_{PA,y}=270\cos(\theta).
Portanto o módulo (velocidade sobre o solo, já que não há componente x) é
|\vec v_{PG}|=270\cos(\theta).

Passo 7

Calculamos numericamente \cos(\theta) usando \sin(\theta)=7/27:
\cos(\theta)=\sqrt{1-\sin^2(\theta)}=\sqrt{1-\left(\frac{7}{27}\right)^2}=\frac{\sqrt{680}}{27}.
Logo
|\vec v_{PG}|=270\cos(\theta)=270\cdot\frac{\sqrt{680}}{27}=10\sqrt{680}\\ \mathrm{km/h}.
Aproximando numericamente:
|\vec v_{PG}|\approx 260{,}77\\ \mathrm{km/h}\\ (\text{aprox. }260{,}8\\ \mathrm{km/h}).

Passo 8

Explicação didática e intuitiva do porquê do vetor velocidade relativa ser importante (resposta para a parte c).
  • O vetor \vec v_{PA} representa a velocidade que o avião “tem” em relação ao ar (o que o piloto controla apontando e ajustando potência). O vetor \vec v_{AG} representa o vento (o movimento do ar em relação ao solo). A soma desses vetores, \vec v_{PG}, é exatamente a velocidade que o avião efetivamente tem sobre o solo — isto determina o rumo real sobre a terra e a rapidez com que o avião chega ao destino.
  • Na navegação: sem considerar essa soma vetorial, o piloto iria voar numa direção diferente da desejada (desvio lateral), e o tempo/fuel estimado ficaria errado. Portanto é essencial calcular a velocidade relativa ao solo para corrigir o rumo (ângulo de deriva) e para planejar tempo de viagem e consumo de combustível.

Resposta

\theta\approx 15{,}03^\circ para o oeste do norte.
|\vec v_{PG}|\approx 260{,}77\\ \mathrm{km/h} (aprox. 260{,}8\\ \mathrm{km/h}).
A velocidade resultante \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG} é a velocidade efetiva sobre o solo; ela indica o rumo e a rapidez reais do avião, sendo essencial para corrigir a rota, estimar tempo de voo e consumo.

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