Um projétil é lançado com velocidade inicial
forma um ângulo
com a horizontal. Despreze a resitencia do ar e considere e aceleração da gravidade
constante.
a) Escreva as componentes da velocidade inicial nas direções horizontal e vertical:
b) Sabendo que o movimento vertical é uniformemente variado, mostre que o tempo total de voo é:
(Dica: use
e lembre que o projetil volta ao solo quando
)
a) Escreva as componentes da velocidade inicial nas direções horizontal e vertical:
Passo 1
O enunciado dá um projétil lançado com velocidade inicial
formando um ângulo
com a horizontal. Despreza-se resistência do ar e a aceleração da gravidade é
constante. As duas perguntas são:
- (a) Escrever as componentes da velocidade inicial nas direções horizontal e vertical. (Observação: no enunciado há um provável erro de digitação — a segunda expressão deveria indicar
, não .) - (b) Usando que o movimento vertical é uniformemente variado, mostrar que o tempo total de voo é
.
Informações relevantes fornecidas:(módulo da velocidade inicial), (ângulo com a horizontal), (aceleração da gravidade), e a dica com o projetil voltando ao solo em .
Passo 2
Entendendo o que são componentes de um vetor: a velocidade inicial
é um vetor inclinado de módulo
e ângulo
. Podemos decompor esse vetor em duas direções ortogonais: horizontal (
) e vertical (
). Geometricamente, ao projetar
sobre os eixos, obtemos dois catetos de um triângulo retângulo cujo hipotenusa é
. As razões trigonométricas relacionam esses catetos ao ângulo
.
Passo 3
Recordando as definições trigonométricas em um triângulo retângulo: para um ângulo
,
Aplicando isso à decomposição de
: o componente horizontal é o cateto adjacente e o componente vertical é o cateto oposto. Assim:
Aqui
é a componente horizontal (constante no movimento sem resistência) e
é a componente vertical inicial.
Passo 4
Agora vamos à parte (b). Primeiro explico as equações do movimento vertical (MUV — movimento uniformemente variado): para a coordenada vertical
com origem no ponto de lançamento e tomando para cima sentido positivo, temos as equações
e
Aqui
é a velocidade vertical no instante
,
é a velocidade vertical inicial, e
é a intensidade da aceleração da gravidade (positivo em módulo). Essas fórmulas vêm das fórmulas básicas do MUV: velocidade final = velocidade inicial + aceleração × tempo; posição = posição inicial + velocidade inicial × tempo + (1/2) aceleração × tempo^2. No nosso caso a posição inicial vertical é zero.
Passo 5
Raciocínio por simetria (método simples e rápido): o tempo que o projétil leva para subir do solo até a altura máxima é o instante em que a velocidade vertical se anula, isto é, quando
. Usando
temos
Como a trajetória é simétrica (sem resistência do ar), o tempo de descida é igual ao tempo de subida. Portanto o tempo total de voo é
Substituindo
(do Passo 3), obtemos
Passo 6
(Verificação alternativa — resolvendo a equação de posição vertical) Como conferência, podemos impor que o projétil volta ao solo quando
. Da expressão de
temos
Essa é uma equação quadrática em
. Fatorando
,
As soluções são
(instante inicial) e
o que coincide com o resultado do Passo 5. Substituindo
chegamos novamente em
Passo 7
Pequena interpretação física e dica para a prova: a fórmula mostra que o tempo total só depende da componente vertical inicial
e da gravidade
. O ângulo aparece através de
. Se você estiver com pressa na prova, o jeito mais rápido é lembrar: tempo de subida =
, tempo total =
.
Resposta
(a)
e
\n(b)