Um projétil é lançado com velocidade inicial \boldsymbol{v}_{\mathbf{0}} \mathrm{e} forma um ângulo \boldsymbol{\theta} com a horizontal. Despreze a resitencia do ar e considere e aceleração da gravidade \boldsymbol{g} constante.
a) Escreva as componentes da velocidade inicial nas direções horizontal e vertical:
v_{0 x}=v_{0} \cos \theta \text { e } v_{0 x}=v_{y} \operatorname{sen} \theta
b) Sabendo que o movimento vertical é uniformemente variado, mostre que o tempo total de voo é:
T=\frac{2 v_{0} \sin \theta}{g}
(Dica: use \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{y}}=\boldsymbol{v}_{\mathbf{0} \boldsymbol{y}}-\boldsymbol{g} \boldsymbol{t} e lembre que o projetil volta ao solo quando \boldsymbol{y}=\mathbf{0} )

Passo 1

O enunciado dá um projétil lançado com velocidade inicial \boldsymbol{v_0} formando um ângulo \boldsymbol{\theta} com a horizontal. Despreza-se resistência do ar e a aceleração da gravidade é \boldsymbol{g} constante. As duas perguntas são:
  1. (a) Escrever as componentes da velocidade inicial nas direções horizontal e vertical. (Observação: no enunciado há um provável erro de digitação — a segunda expressão deveria indicar v_{0y}, não v_{0x}.)
  2. (b) Usando que o movimento vertical é uniformemente variado, mostrar que o tempo total de voo é \displaystyle T=\frac{2 v_{0}\sin\theta}{g}.
    Informações relevantes fornecidas: \displaystyle v_0 (módulo da velocidade inicial), \displaystyle \theta (ângulo com a horizontal), \displaystyle g (aceleração da gravidade), e a dica \displaystyle v_y=v_{0y}-g t com o projetil voltando ao solo em \displaystyle y=0.

Passo 2

Entendendo o que são componentes de um vetor: a velocidade inicial \displaystyle \vec{v_0} é um vetor inclinado de módulo \displaystyle v_0 e ângulo \displaystyle \theta. Podemos decompor esse vetor em duas direções ortogonais: horizontal ( x) e vertical ( y). Geometricamente, ao projetar \vec{v_0} sobre os eixos, obtemos dois catetos de um triângulo retângulo cujo hipotenusa é \displaystyle v_0. As razões trigonométricas relacionam esses catetos ao ângulo \theta.

Passo 3

Recordando as definições trigonométricas em um triângulo retângulo: para um ângulo \theta,
\cos\theta=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}},\qquad \sin\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}.
Aplicando isso à decomposição de \vec{v_0}: o componente horizontal é o cateto adjacente e o componente vertical é o cateto oposto. Assim:
v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.
Aqui \displaystyle v_{0x} é a componente horizontal (constante no movimento sem resistência) e \displaystyle v_{0y} é a componente vertical inicial.

Passo 4

Agora vamos à parte (b). Primeiro explico as equações do movimento vertical (MUV — movimento uniformemente variado): para a coordenada vertical y(t) com origem no ponto de lançamento e tomando para cima sentido positivo, temos as equações
v_y(t)=v_{0y}-g t
e
y(t)=v_{0y}t-\frac{1}{2}g t^2.
Aqui \displaystyle v_y(t) é a velocidade vertical no instante t, \displaystyle v_{0y} é a velocidade vertical inicial, e \displaystyle g é a intensidade da aceleração da gravidade (positivo em módulo). Essas fórmulas vêm das fórmulas básicas do MUV: velocidade final = velocidade inicial + aceleração × tempo; posição = posição inicial + velocidade inicial × tempo + (1/2) aceleração × tempo^2. No nosso caso a posição inicial vertical é zero.

Passo 5

Raciocínio por simetria (método simples e rápido): o tempo que o projétil leva para subir do solo até a altura máxima é o instante em que a velocidade vertical se anula, isto é, quando v_y(t_{\text{up}})=0. Usando
0=v_{0y}-g t_{\text{up}},
temos
t_{\text{up}}=\frac{v_{0y}}{g}.
Como a trajetória é simétrica (sem resistência do ar), o tempo de descida é igual ao tempo de subida. Portanto o tempo total de voo é
T=2t_{\text{up}}=2\frac{v_{0y}}{g}.
Substituindo \displaystyle v_{0y}=v_0\sin\theta (do Passo 3), obtemos
T=2\frac{v_0\sin\theta}{g}=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.

Passo 6

(Verificação alternativa — resolvendo a equação de posição vertical) Como conferência, podemos impor que o projétil volta ao solo quando y(T)=0. Da expressão de y(t) temos
0=v_{0y}T-\frac{1}{2}gT^2.
Essa é uma equação quadrática em T. Fatorando T,
T\left(v_{0y}-\frac{1}{2}gT\right)=0.
As soluções são T=0 (instante inicial) e
v_{0y}-\frac{1}{2}gT=0\quad\Rightarrow\quad T=\frac{2v_{0y}}{g},
o que coincide com o resultado do Passo 5. Substituindo v_{0y}=v_0\sin\theta chegamos novamente em
T=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.

Passo 7

Pequena interpretação física e dica para a prova: a fórmula mostra que o tempo total só depende da componente vertical inicial \displaystyle v_{0y} e da gravidade \displaystyle g. O ângulo aparece através de \sin\theta. Se você estiver com pressa na prova, o jeito mais rápido é lembrar: tempo de subida = v_{0y}/g, tempo total = 2v_{0y}/g.

Resposta

(a) v_{0x}=v_{0}\cos\theta \,\, e \,\, v_{0y}=v_{0}\sin\theta\n(b) T=\dfrac{2v_{0}\sin\theta}{g}

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