Um avião de guerra pode disparar um raio laser reto e sempre à frente. O avião viaja sobre o percurso r(t)=(5-t, 21-t^2, 3-t^327). Prove que existe um único momento em que o piloto pode acertar um alvo que está localizado na origem.

Passo 1

O avião tem posição em cada instante t dada por
r(t)=l(5 - t,;21 - t^2,;3 - tfract^327r)
Como o laser sai sempre reto e “à frente”, a reta raiada no instante t é
Lt(s)=r(t)+s,v(t),
onde v(t)=r'(t) é o vetor velocidade e o parâmetro s>=0 mede a direção para frente. Para que o raio acerte a origem é necessário existir s>=0 tal que
r(t)+s,v(t)=(0,0,0)

Passo 2

Calculemos primeiro o vetor velocidade:
v(t)=r'(t)=l(-1,;-2t,;-,tfract^29r)
Escrevendo a condição de intersecção em coordenadas, temos o sistema
5 - t ;+;sl(-1r)=0, 21 - t^2 ;+;sl(-2tr)=0, 3 - tfract^327;+;sl(-tfract^29r)=0

Passo 3

Da primeira equação segue
5 - t - s = 0 Longrightarrow s = 5 - t
Substituindo s=5-t na segunda equação:
21 - t^2 ;-;2t,(5 - t)=0 ;Longrightarrow; 21 - t^2 -10t +2t^2=0 ;Longrightarrow; t^2-10t+21=0
As raízes são
t=10pmraiz100-842 =10pm42,
logo t=3 ou t=7.

Passo 4

Para t=3 vem s=5-3=2>=0.
Para t=7 vem s=5-7=-2<0, o que é impossível pois o raio só vai “à frente” ( s>=0).
Só resta t=3. Por consistência, checamos a terceira equação em t=3 e s=2:
3 - tfrac2727 ;-;2cdottfrac99 =3-1-2=0,
valendo, portanto, a intersecção.

Resposta

O único instante em que o piloto pode acertar o alvo na origem é t=3.

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