Considere a região
delimitada por
e
. Faça um esboço dessa região
. Escreva a integral dupla
como uma soma de integrais duplas. Escreva a integral dupla
em cooordenadas polares
.
Passo 1
Resumo do enunciado: a região R é o pedaço do disco unitário x²+y²≤1 que fica entre as retas x=2y (ou y=x/2), y=2x e x≥0. O que vamos precisar: desenhar essa região, achar onde as retas cortam o círculo para obter os limites em x e y e, por fim, reescrever a integral dupla em cartesianas (dividindo em duas partes) e em coordenadas polares.
Passo 2
Esboço e identificação das fronteiras: primeiro desenha o círculo de raio 1 centrado na origem; depois as retas x=2y (ou y=x/2), que forma um ângulo θ₁=arctan(1/2) com o eixo x, e y=2x, que forma um ângulo θ₂=arctan(2). A região R é o “fatia” do disco que fica para x≥0, acima da reta y=x/2 e abaixo da reta y=2x.
Passo 3
Interseção das retas com o círculo x²+y²=1:
– Para y=x/2:
– Para y=x/2:
e então y=\tfrac1{\sqrt5}.
– Para y=2x:
e então y=\tfrac{2}{\sqrt5}.
Passo 4
Divisão da região em duas faixas em cartesianas:
– De x=0 até x=1/√5: nesse trecho a reta y=2x está abaixo do círculo, então y vai de y=x/2 até y=2x.
– De x=1/√5 até x=2/√5: aqui a reta y=2x sobe acima do disco, então y vai de y=x/2 até y=√(1−x²).
– De x=0 até x=1/√5: nesse trecho a reta y=2x está abaixo do círculo, então y vai de y=x/2 até y=2x.
– De x=1/√5 até x=2/√5: aqui a reta y=2x sobe acima do disco, então y vai de y=x/2 até y=√(1−x²).
Passo 5
Integral dupla em coordenadas cartesianas como soma de duas:
Passo 6
Integral dupla em coordenadas polares: como R é o disco r≤1 entre θ=arctan(1/2) e θ=arctan(2),
Resposta
A soma em cartesianas é
e em polares é