Considere a região R delimitada por x^2+y^2 <= 1,0 <= x <= 2 y e y <= 2 x. Faça um esboço dessa região R. Escreva a integral dupla integral duplaR f(x, y) d A como uma soma de integrais duplas. Escreva a integral dupla integral duplaR f(x, y) d A em cooordenadas polares (r, theta).

Passo 1

Resumo do enunciado: a região R é o pedaço do disco unitário x²+y²≤1 que fica entre as retas x=2y (ou y=x/2), y=2x e x≥0. O que vamos precisar: desenhar essa região, achar onde as retas cortam o círculo para obter os limites em x e y e, por fim, reescrever a integral dupla em cartesianas (dividindo em duas partes) e em coordenadas polares.

Passo 2

Esboço e identificação das fronteiras: primeiro desenha o círculo de raio 1 centrado na origem; depois as retas x=2y (ou y=x/2), que forma um ângulo θ₁=arctan(1/2) com o eixo x, e y=2x, que forma um ângulo θ₂=arctan(2). A região R é o “fatia” do disco que fica para x≥0, acima da reta y=x/2 e abaixo da reta y=2x.

Passo 3

Interseção das retas com o círculo x²+y²=1:
– Para y=x/2:
x^2+l(tfrac x2r)^2=1implies x^2l(1+tfrac14r)=1implies x=tfrac2raiz5,
e então y=\tfrac1{\sqrt5}.
– Para y=2x:
x^2+(2x)^2=1implies x^2(1+4)=1implies x=tfrac1raiz5,
e então y=\tfrac{2}{\sqrt5}.

Passo 4

Divisão da região em duas faixas em cartesianas:
– De x=0 até x=1/√5: nesse trecho a reta y=2x está abaixo do círculo, então y vai de y=x/2 até y=2x.
– De x=1/√5 até x=2/√5: aqui a reta y=2x sobe acima do disco, então y vai de y=x/2 até y=√(1−x²).

Passo 5

Integral dupla em coordenadas cartesianas como soma de duas:
integral duplaR f(x,y),dA=integralx=0^1/raiz5!gl(integraly=tfrac x2^2xf(x,y),dygr)dx+integralx=1/raiz5^2/raiz5!gl(integraly=tfrac x2^raiz1-x^2f(x,y),dygr)dx

Passo 6

Integral dupla em coordenadas polares: como R é o disco r≤1 entre θ=arctan(1/2) e θ=arctan(2),
integral duplaR f(x,y),dA=integraltheta=arctan(1/2)^arctan(2)!gl(integralr=0^1f(rcostheta,rsintheta),r,drgr)dtheta

Resposta

A soma em cartesianas é
integral duplaR f(x,y),dA=integral0^1/raiz5!l(integralx/2^2xf(x,y),dyr)dx+integral1/raiz5^2/raiz5!l(integralx/2^raiz1-x^2f(x,y),dyr)dx,
e em polares é
integral duplaR f(x,y),dA=integralarctan(1/2)^arctan(2)!integral0^1f(rcostheta,rsintheta),r,dr,dtheta

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