Para cada n >= 1, seja a função fn(x)=x^n1+x^n, x >= 0. Considere a função f dada por
f(x)=lim n infty fn(x)
Calcule f(x)=lim n infty fn(x).

Passo 1

O enunciado define a sequência de funções fn em [0,infty) por
fn(x)=x^n1+x^n
e pede o limite pontual
f(x)=limntoinftyfn(x)
Para resolver precisamos usar o comportamento de x^n quando ntoinfty em três regiões distintas de x: 0<= x<1, x=1 e x>1.

Passo 2

Se 0<= x<1, então x^nto0 quando ntoinfty. Logo, no numerador x^nto0 e no denominador 1+x^nto1. Assim,
limntoinftyfn(x) =limntoinftyx^n1+x^n =01=0

Passo 3

Se x=1, então 1^n=1 para todo n. Logo
fn(1)=1^n1+1^n=12
para todo n, e assim
limntoinftyfn(1)=12

Passo 4

Se x>1, então x^ntoinfty quando ntoinfty. No quociente
x^n1+x^n =11x^n+1,
temos tfrac1x^nto0, logo o quociente tende a 10+1=1. Portanto
limntoinftyfn(x)=1

Resposta

f(x)=limntoinftyfn(x) = 0, & 0<= x<1, 12, & x=1, 1, & x>1

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