Considere a função f dada por
f(x)=sumn=0^+infty x^nn!
Justifique a igualdade
integral0^1 f(x) d x=sumn=0^+infty 1(n+1)!

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=sumn=0^inftyx^nn!
definida em [0,1], e pede para justificar a igualdade
integral0^1f(x),dx ;=;sumn=0^infty1(n+1)!
O conteúdo aqui é integração termo a termo de séries de funções, o que requer mostrar convergência uniforme no intervalo de integração.

Passo 2

Definimos os termos da série
fn(x)=x^nn!
Para todo xin[0,1] vale
l|fn(x)r|=x^nn!<=1n!
Como sumn=0^infty1n! converge (é a série de Taylor de e^1), pelo critério de Weierstrass (M-teste) a série sum fn(x) converge uniformemente em [0,1].

Passo 3

Cada fn é contínua em [0,1] e a soma converge uniformemente, logo podemos trocar soma e integral:
integral0^1f(x),dx =integral0^1sumn=0^inftyfn(x),dx =sumn=0^inftyintegral0^1fn(x),dx

Passo 4

Calculamos a integral de cada termo:
integral0^1fn(x),dx =integral0^1x^nn!,dx =1n!integral0^1x^n,dx =1n!cdot1n+1 =1(n+1)!

Passo 5

Portanto
integral0^1f(x),dx =sumn=0^infty1(n+1)!,
como era para justificar.

Resposta

integral0^1f(x),dx=sumn=0^infty1(n+1)!

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