Considere a função
dada por
Justifique a igualdade
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida em
, e pede para justificar a igualdade
O conteúdo aqui é integração termo a termo de séries de funções, o que requer mostrar convergência uniforme no intervalo de integração.
Passo 2
Definimos os termos da série
Para todo
vale
Como
sumn=0^infty1n! converge (é a série de Taylor de
e^1 ), pelo critério de Weierstrass (M-teste) a série
sum fn(x) converge uniformemente em
[0,1] .
Passo 3
Cada
fn é contínua em
[0,1] e a soma converge uniformemente, logo podemos trocar soma e integral:
Passo 4
Calculamos a integral de cada termo:
Passo 5
Portanto
como era para justificar.