Para cada , seja a função . Considere a função dada por
converge uniformemente a em ? Justifique.
Passo 1
O enunciado define, para cada , a função
e pede para estudar a convergência uniforme de para
O conteúdo aqui envolve limites pontuais de funções e o critério de convergência uniforme (em particular o teorema que diz que o limite uniforme de funções contínuas é contínuo).
Passo 2
Vamos primeiro calcular o limite pontual
Se , então , logo
Se , então para todo temos , logo
Se , então , e
Portanto
Passo 3
Cada fn é contínua em [0,infty), mas a função limite f é descontínua em x=1 (salta de 0 para tfrac12 e depois para 1). Pelo teorema que diz que o limite uniforme de funções contínuas é contínuo, concluímos imediatamente que não há convergência uniforme em [0,infty).
Passo 4
Alternativamente, podemos verificar diretamente que
supx>=0l|fn(x)-f(x)r|notto0
De fato, aproximando x de 1 pela direita ou pela esquerda, a diferença l|fn(x)-f(x)r| fica próxima de tfrac12 para todo n. Assim o supremo da diferença é sempre maior ou igual a tfrac12, e não tende a zero.
Resposta
Não, fn não converge uniformemente para f em [0,infty).