Para cada n >= 1, seja a função fn(x)=x^n1+x^n, x >= 0. Considere a função f dada por
f(x)=lim n infty fn(x)
fn converge uniformemente a f em x >= 0 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define, para cada n>=1, a função
fn(x)=x^n1+x^n, x>=0,
e pede para estudar a convergência uniforme de fn para
f(x)=limntoinftyfn(x)
O conteúdo aqui envolve limites pontuais de funções e o critério de convergência uniforme (em particular o teorema que diz que o limite uniforme de funções contínuas é contínuo).

Passo 2

Vamos primeiro calcular o limite pontual
f(x)=limntoinftyx^n1+x^n
  • Se 0<= x<1, então x^nto0, logo
f(x)=01+0=0
  • Se x=1, então para todo n temos fn(1)=tfrac12, logo
f(1)=12
  • Se x>1, então x^nto+infty, e
f(x)=limntoinftyx^n1+x^n =limntoinfty11+x^-n=1
Portanto
f(x)= 0,&0<= x<1, 12,&x=1, 1,&x>1

Passo 3

Cada fn é contínua em [0,infty), mas a função limite f é descontínua em x=1 (salta de 0 para tfrac12 e depois para 1). Pelo teorema que diz que o limite uniforme de funções contínuas é contínuo, concluímos imediatamente que não há convergência uniforme em [0,infty).

Passo 4

Alternativamente, podemos verificar diretamente que
supx>=0l|fn(x)-f(x)r|notto0
De fato, aproximando x de 1 pela direita ou pela esquerda, a diferença l|fn(x)-f(x)r| fica próxima de tfrac12 para todo n. Assim o supremo da diferença é sempre maior ou igual a tfrac12, e não tende a zero.

Resposta

Não, fn não converge uniformemente para f em [0,infty).

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